Laplaceův operátor

Laplaceův operátor je diferenciální operátor definovaný jako divergence gradientu skalárního, nebo obecně tenzorového pole nazvaný podle Pierre-Simona Laplace. Je-li aplikován na skalární pole, výsledkem je skalární pole, je-li aplikován na tenzorové pole, výsledkem je tenzorové pole stejného řádu. Značí se symbolem \Delta.

Definice

Laplaceův operátor je definován jako působení skalárního součinu operátorů nabla na funkci f:\mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}:

:\Delta f = \mathrm{div}\,\mathrm{grad}\,\ f = \nabla^2 f = \frac{\partial^2 f} {\partial x^2} + \frac{\partial^2 f} {\partial y^2} + \frac{\partial^2 f} {\partial z^2} .

V n-rozměrném prostoru lze Laplaceův operátor vyjádřit působením operátoru delta na funkci f = f(x_1,\ldots,x_n):

:\Delta f = \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_1} + \cdots + \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_n}.

Obecně pro p>1 se diferenciální operátor \Delta _pu=\nabla\cdot(||\nabla u||^{p-2}\nabla u) nazývá p-Laplacián. Pro p=2 se p-Laplacián redukuje na klasický Laplaceův operátor.

d'Alembertův operátor

Speciálním případem Laplaceova operátoru je d'Alembertův diferenciální operátor (nazvaný podle Jeana le Rond d'Alemberta) pro čtyřrozměrný Minkowského prostor ve speciální teorii relativity při popisu dějů v prostoročasu či v relativistické formulaci kvantové teorie (viz Kleinova-Gordonova rovnice).

d'Alembertův operátor v kartézských souřadnicích je ve tvaru:

:\square f= \frac{\partial^2 f}{\partial (x_1)^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial (x_2)^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial (x_3)^2} -\frac{\partial^2 f}{\partial (x_0)^2}

nebo speciálně za použití souřadnic x, y, z, ct ve tvaru:

:\square f= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2} .

V látkovém prostředí se někdy používá definice

:\square f= \Delta f-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2}= \Delta f-\frac{N^2}{c^2}\frac{\partial^2 f}{\partial {t}^2} ,

kde \mu,\varepsilon jsou permeabilita a permitivita daného materiálu a N je jeho index lomu.

Značí se značkou \square = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } - \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 }

výjimečně se lze ve fyzikální literatuře setkat se zápisem d'Alembertova operátoru symbolem \square^2; symbol \square je v takových případech zpravidla vyhrazen čtyřvektoru operátoru gradientu, tj. čtyřrozměrnému zobecnění operátoru nabla.

Vyjádření v různých soustavách souřadnic

Je-li f skalární pole v daných souřadnicích, pak platí:

Ve válcových souřadnicích:

: \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } .

Ve sférických souřadnicích:

: \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

nebo ekvivalentně:

: \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} .

V obecných ortogonálních souřadnicích má gradient s využitím Laméových koeficientů h_1,h_2,h_3 tvar:

:\Delta f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left( \frac{\partial }{\partial x_1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial f}{\partial x_1}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_2} \left( \frac{h_1 h_3}{h_2} \frac{\partial f}{\partial x_2}\right)+ \frac{\partial }{\partial x_3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial f}{\partial x_3}\right) \right).

Laplaceův operátor je invariantní vůči transformaci souřadnic.

Užití

Poissonova rovnice * Vlnová rovnice * Difuzní rovnice

Poznámky

Literatura

Související články

Divergence (operátor) * Rotace (operátor) * Gradient (matematika) * Hamiltonův operátor * Parciální derivace

Kategorie:Diferenciální operátory Kategorie:Vektorový počet