Cesko.wiki Legendreův symbol
Author
Albert FloresLegendreův symbol je multiplikativní funkce zavedená v teorii čísel. Při pevně daném prvočísle p nabývá pro různá celá čísla a hodnot 0, 1 a -1 podle toho, zda je a soudělné s p a zda je a modulo p čtvercem.
Legendreův symbol zavedl Adrien-Marie Legendre v roce 1798 při dokazování zákona kvadratické reciprocity. Existují jeho zobecnění, například Jacobiho symbol. +more Jeho značení přejaly také jiné funkce algebraické teorie čísel, například Hilbertův symbol a Artinův symbol.
Definice
Nechť p je prvočíslo. Celé číslo a se označuje kvadratický zbytek, pokud je modulo kongruentní druhé mocnině nějakého celého čísla, v opačném případě se nazývá kvadratický nezbytek. +more Legendreův symbol je funkce dvou proměnných p a a definovaná takto: : \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. zbytek modulo}\ p \text{ a } a \not\equiv 0\pmod{p} \\ -1 \text{ pokud } a \text{ je kvadr. nezbytek modulo}\ p\\ \;\;\,0 \text{ pokud } a \equiv 0 \pmod{p}. \end{cases}.
Legendreova původní definice byla pomocí vzorců: : \left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2}\ \pmod{ p}\;\;\text{ a } \left(\frac{a}{p}\right) \in \{-1,0,1\}.
Že jsou tyto definice ekvivalentní plyne z Eulerova kritéria, které bylo známo ještě před zavedením Legendreova symbolu. Legendreův přínos zde tkví právě v zavedení nové notace (předtím například Gauss používal pro vyjádření téhož zápisy aRp, aNp).
Vlastnosti
Legendreův symbol je ve své první proměnné periodický; platí-li a ≡ b (mod p), pak: :: \left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right).
* Legendreův symbol je ve své první proměnné úplná multiplikativní funkce, tedy: :: \left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right).