Cesko.wiki Lieova algebra
Author
Albert FloresLieova algebra je algebraická struktura, která úzce souvisí s Lieovými grupami a jejich reprezentacemi.
Definice
Lieova algebra je algebra, tj. vektorový prostor V nad tělesem F spolu s bilineárním zobrazením (Lieova závorka) ve tvaru
:[\,\cdot\,\,\cdot\,]: V\times V\to V,
které pro všechna x,y,z\in V splňuje vlastnosti:
* Alternativita, :: [x,x]=0. * Jacobiho identita, :: [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0.
Lze jednoduše z definice ukázat, že alternativita implikuje antikomutativitu, a naopak v případě, že uvažujeme těleso jiné charakteristiky než dva, antikomutativita implikuje alternativitu.
:Uvažujme libovolné dva prvky x,y\in V. S využitím bilinearity Lieovy závorky lze psát :: [x+y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x]=0, :z čehož dostáváme antikomutativitu. +more Naopak stačí uvažovat :: [x,x]=-[x,x], :z čehož plyne 2[x,x]=0, a tudíž z antikomutativity plyne alternativita.
Příklady
Libovolný vektorový prostor s triviální (nulovou) závorkou: [x,y]=0 * Třírozměrný vektorový prostor s vektorovým součinem: [\vec{x},\vec{y}]:= \vec{x}\times \vec{y}
* matice n\times n s nulovou stopou a komutátorem [A,B]=AB-BA * antisymetrické reálné matice spolu s komutátorem * antihermitovské matice spolu s komutátorem * funkce na fázovém prostoru spolu s Poissonovou závorkou * vektorová pole na varietě s komutátorem vektorových polí * Tečný prostor \mathfrak{g} Lieovy grupy G v jednotkovém prvku spolu se závorkou [x,y]:=\mathrm{ad}(x)y, kde \mathrm{ad}\in \mathrm{End}(\mathfrak{g}) je derivace zobrazení \mathrm{Ad}_{\mathrm{exp}(tx)}\in \mathrm{Gl}(\mathfrak{g}) v t=0. Této Lieovy algebře \mathfrak{g} se říká Lieova algebra Lieovy grupy G. +more V případě maticových grup je \mathfrak{g} pouze tečný prostor G a [x,y] obyčejný komutátor matic.