Cesko.wiki Lindenbaumova algebra
Author
Albert FloresLindenbaumova algebra (také Lindenbaumova-Tarského algebra) je pojem z oblasti matematické logiky. Slouží k vyjádření struktury množiny formulí co se týče jejich dokazatelnosti v nějaké formální teorii.
Definice
Lindenbaumovy algebry teorie
Nechť T je bezesporná teorie v jazyce L a m je přirozené číslo. Pro formule \varphi, \psi jazyka L mající právě m volných proměnných definujeme \varphi \sim \psi, pokud v T je dokazatelné \varphi \leftrightarrow \psi. +more Označíme F^m_T množinu všech tříd ekvivalence \sim. m-tá Lindenbaumova algebra teorie T je Booleova algebra s nosnou množinou F^m_T a operacemi definovanými následovně: * [\varphi]_\sim \land [\psi]_\sim = [\varphi \land \psi]_\sim * [\varphi]_\sim \vee [\psi]_\sim = [\varphi \vee \psi]_\sim * -[\varphi]_\sim = [\neg\varphi]_\sim * 0 = [\varphi \land \neg\varphi]_\sim , kde \varphi je nějaká formule s m-volnými proměnnými. * 1 = [\varphi \vee \neg\varphi]_\sim , kde \varphi je nějaká formule s m-volnými proměnnými.
Lindenbaumovy algebry jazyka
m-tou Lindenbaumovu algebru jazyka L definujeme jako m-tou Lindenbaumovu algebru teorie v jazyce L, která nemá žádné vlastní (tj. mimologické) axiomy.
Vlastnosti
Lindenbaumova algebra teorie T je dvouprvková, právě když je T úplná teorie. +more * Formule \varphi je nedokazatelná v T, právě když \varphi\not\in 1. * Formule \varphi je nevyvratitelná v T, právě když \varphi\not\in 0.