Lineární aproximace

Lineární aproximace funkce. Modrá funkce je funkce, se kterou chceme pracovat, ale je komplikovaná. Červená je její lineární aproximace v nule. Je jednodušší, ale je blízko k modré funkci jenom v okolí počátku. Lineární aproximace je metoda lokálního nahrazení funkčního předpisu funkce jeho přibližným vyjádřením pomocí lineární funkce. Účelem je snížení výpočetní náročnosti. Protože se jedná o aproximaci, je toto zjednodušení na úkor přesnosti. Používá se při numerických výpočtech i při analytickém řešení úloh.

Například kmity matematického kyvadla jsou popsány diferenciální rovnicí \ddot{\varphi} + \frac {g}{l}\sin\varphi = 0, jejíž řešení nelze vyjádřit v analytickém tvaru. Při použití lineární aproximace pro malé výchylky se rovnice redukuje na \ddot \varphi+\frac{g}{l}\varphi = 0, jejíž řešení je možno napsat pomocí goniometrických funkcí a je tak možné pracovat s analytickým tvarem řešení, toto řešení je však platné pouze pro malé výchylky.

Vzorce pro lineární aproximaci

Aby bylo možné následující aproximace použít, musí být funkce dostatečně hladká v bodě, v jehož okolí je aproximována. Matematicky medota vychází z Taylorova polynomu, který je možné použít i pro odhad chyby aproximace.

* Funkce f(x) jedné proměnné má v bodě x_0 lineární aproximaci f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0),kde f'(x_0) je derivace funkce f(x) vypočtená v bodě x_0. * Funkce f(x,y) dvou proměnných má v bodě (x_0,y_0) lineární aproximaci f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0),kde f'_x(x_0,y_0) a f'_y(x_0,y_0) jsou parciální derivace funkce f(x,y) vypočtené v bodě (x_0,y_0). +more Toto je možné zapsat pomocí gradientu \nabla f(x_0,y_0) a skalárního součinu ve dvoučlenném tvaru f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x-x_0,y-y_0). * Vektorová funkce F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) dvou proměnných má v bodě (x_0,y_0) lineární aproximaci F(x,y)\approx F(x_0,y_0)+J(x_0,y_0)\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix},kde J(x_0,y_0)=\begin{pmatrix}\frac{\partial P}{\partial x}(x_0,y_0)&\frac{\partial P}{\partial y}(x_0,y_0)\\ \frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)&\frac{\partial Q}{\partial x}(x_0,y_0)\end{pmatrix} je Jacobiho matice funkce F(x,y) vypočtená v bodě (x_0,y_0) a součin Jacobiho matice s sloupcovým vektorem na pravé straně chápeme jako maticový součin. .

Analogicky je možno napsat aproximaci funkce libovolného počtu proměnných.

Nejběžnější lineární aproximace

Všechny následující aproximace platí v okolí nuly a jsou přímými důsledky vzorce pro lineární aproximaci funkce jedné proměnné.

\begin{aligned} \sin x&\approx x\\\\ \cos x&\approx 1\\\\ \sqrt{1\pm x}&\approx1\pm \frac 12 x\\\\ \frac 1{\sqrt{1\pm x}}&\approx1\mp \frac 12 x\\\\ (1\pm x)^n&\approx 1\pm nx \end{aligned}

Využití lineární aproximace

Lineární aproximace umožňuje redukovat přesný (ale komplikovaný a nelineární) relativistický vzorec pro kinetickou energii na jednoduchou kvadratickou závislost kinetické energie na rychlosti podle Newtonovské fyziky. V tomto případě používáme lineární aproximaci pro Lorentzův faktor. +more Ten má s využitím přibližného vzorce \frac{1}{\sqrt {1-x}}\approx 1+\frac 12 x pro x=\frac{v^2}{c^2} aproximaci \gamma = \frac{1}{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}}\approx 1+\frac {1}{2}\frac{v^2}{c^2}. Graficky je tato aproximace zachycena v úvodním obrázku pro Lorentzův faktor snížený o jedničku, což dává při použití přímo člen vyjařující kinetickou energii. * Pokud je funkční hodnota v bodě aproximace nulová, redukuje se lineární aproximace na přímou úměrnost. Proto jsou konstitutivní zákony vyjadřovány pomocí přímé úměrnosti. V případě konstitutivního zákona mezi dvěma vektorovými veličinami je úměrnost vyjádřena Jacobiho maticí, tj. tenzorem druhého řádu. V tomto kontextu se matice z lineární aproximace často nazývá difuzní matice.

Odkazy

Související články

Derivace * Taylorův polynom * Aproximace

Literatura

Rektorys Karel a kol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání.

Externí odkazy

[url=http://fyzikalniolympiada.cz/texty/aproxim.pdf]Aproximace ve fyzikálních úlohách[/url], studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku, Martin Kapoun

Kategorie:Matematická analýza