Lineární systém

Technology

12 hours ago

Author

Lineární systém (soustava) je systém, v němž platí princip superpozice.

To znamená, že za předpokladu, že x_1(t) \rightarrow y_1(t) a x_2(t) \rightarrow y_2(t) platí:

* Aditivita (výstupem pro součet dvou signálů bude stejný, jako součet výstupů pro tyto signály jednotlivě) ** x_1(t) + x_2(t) \rightarrow y_1(t) + y_2(t) * Homogenita (výstup pro násobek jiného vstupu bude roven stejnému násobku výstupu pro tento vstup) ** ax_1(t) \rightarrow ay_1(t)

Tyto podmínky lze také zapsat jako jedinou:

ax_1(t) + bx_2(t) \rightarrow ay_1(t) + by_2(t)

Splnění těchto podmínek označujeme také jako princip superpozice.

Časově invariantní (nezávislý) systém

Systém nemění své chování v čase - jeho výstup závisí na vstupním signálu popřípadě na stavu systému.

Lineární časově invariantní systém (LTI)

Systémy, které jsou lineární a zároveň časově invariatní, označujeme zkratkou LTI (Linear Time-Invariant). Nejdůležitější charakteristikou LTI systému je jeho impulzní odezva, protože konvolucí vstupu s impulzní odezvou můžeme získat výstup LTI systému:

y(t) = x(t) * h(t)\, {}\quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(t-\tau)\cdot h(\tau) \, \operatorname{d}\tau {}\quad = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\cdot h(t-\tau) \,\operatorname{d}\tau