Množinová algebra

Množinová algebra definuje vlastnosti a zákony množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a množinových relací rovnosti a inkluze. Poskytuje také systematické postupy pro vyhodnocování výrazů a provádění výpočtů obsahujících tyto operace a relace.

Jakýkoli systém množin uzavřený vůči množinovým operacím vytváří Booleovu algebru, ve které je sjednocení operací spojení, průnik je operací průseku, množinový doplněk je operací doplňku, nejmenší prvek je prázdná množina \varnothing a největší prvek je univerzální množina.

Základy

Množinová algebra je množinově teoretická analogie číselné algebry. Množinové sjednocení a průnik jsou asociativní a komutativní stejně jako aritmetické operace sčítání a násobení; množinová relace „je podmnožinou“ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní stejně jako aritmetická relace „menší nebo rovno“.

Jde o algebru množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a relací rovnosti a inkluze. Základní informace o teorii množin jsou ve článcích množina, teorie množin, naivní teorie množin a axiomatická teorie množin.

Základní zákony množinové algebry

Množinové binární operace sjednocení (\cup) a průnik (\cap) vyhovují mnoha identitám. Několik těchto identit nebo „zákonů“ je pojmenovaných.

:Zákony komutativity: ::* A \cup B = B \cup A ::* A \cap B = B \cap A :Zákony asociativity: ::* (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) ::* (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) :Zákony distributivity: ::* A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) ::* A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

Sjednocení a průnik množin můžeme považovat za operace analogické sčítání a násobení čísel. Stejně jako sčítání a násobení, operace sjednocení a průnik jsou komutativní a asociativní a průnik je distributivní vůči sjednocení. +more Na rozdíl od sčítání a násobení je také sjednocení distributivní vůči průniku.

Další dvojice zákonů definuje speciální množiny nazývané prázdná množina Ø a univerzální množina (univerzum) U; spolu s doplněk operátor (A^C označuje doplněk A. Tento může také být napsaný jako A^', čteme s čarou). +more Prázdná množina nemá žádné prvky a univerzální množina má všechny možné prvky (v určitém kontextu).

:Zákony identity: ::* A \cup \varnothing = A ::* A \cap U = A :Zákony doplňku: ::* A \cup A^C = U ::* A \cap A^C = \varnothing

Zákony identity (spolu s komutativními zákony) říkají že stejně jako čísla 0 a 1 jsou neutrálními prvky pro sčítání a násobení, jsou Ø a U neutrálními prvky pro sjednocení, resp. průnik.

Operace sjednocení a průnik nemají na rozdíl sčítání a násobení inverzní prvky. Zákony doplňku však poskytují základní vlastnosti unární operace, která se chová jako obdoba k množinovému doplňku.

Výše uvedených pět dvojic zákonů - komutativní, asociativní, distributivní, zákony identity a doplňku - obsahuje kompletní seznam axiomů množinové algebra, v tom smyslu, že každé pravdivé tvrzení v množinové algebře z nich může být odvozeno.

Odkazy

Reference

Literatura

Stoll, Robert R. ; Set Theory and Logic, Mineola, N. +moreY. : Dover Publications (1979) . [url=https://books. google. com/books. id=3-nrPB7BQKMC&pg=PA16#v=onepage&q&f=false]"The Algebra of Sets", pp 16-23[/url]. * Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics. : An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. . [url=https://books. google. com/books. id=UfdossHPlkgC&pg=PA17-IA8&dq=%22algebra+of+sets%22&hl=en&ei=k8-RTdXoF4K2tgfM-p1v&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDYQ6AEwAg#v=onepage&q=%22algebra%20of%20sets%22&f=false]"SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS"[/url].

Související články

σ-algebra je algebra množin, uzavřená vůči spočetným nekonečným operacím. * Axiomatická teorie množin * Systém množin * Naivní teorie množin * Množina * Topologický prostor - podmnožina \wp(X) (potenční množiny množiny X), uzavřená vůči libovolným sjednocením a konečným průnikům a obsahující \emptyset a X.

Externí odkazy

[url=http://www.apronus.com/provenmath/btheorems.htm]Operations on Sets at ProvenMath[/url]

Kategorie:Teorie množin