Moorova–Osgoodova věta

Eliakim Hastings Moore Moorova-Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi, která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.

Znění

Nechť (P,\rho) je metrický prostor, x_0\in P je hromadný bod P a funkce f, f_n: P\rightarrow\mathbb{R} \forall n\in\mathbb{N} splňují

# existuje r\in\mathbb{R}: r>0 takové, že f_n stejnoměrně konverguje k f na B(x_0,r)\setminus\{x_0\} # pro každé n\in\mathbb{N} platí \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f_n(x)=a_n\in\mathbb{R}

Potom existují vlastní limity \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x) a \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n. Navíc, tyto limity si jsou rovny.

Důkaz

Nejdříve ukážeme, že existuje limita \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n:

Dostaneme zadané \varepsilon>0 a k němu volíme n_0\in\mathbb{N} tak, aby platilo \forall x\in B(x_0,r)\setminus\{x_0\}, \forall n\in\mathbb{N}, n\geq n_0: |f_n(x)-f(x)|. Takové n_0 existuje ze stejnoměrné konvergence f_n na f.

Mějme dále m,n\in\mathbb{N}, m,n>n_0. Pro ně najdeme r_n\in\mathbb{R}^+: r_n tak, aby platilo \forall x\in B(x_0, r_n)\setminus\{x_0\}: |f_n(x)-a_n|. +more Analogicky najdeme r_m\in\mathbb{R}^+: r_m tak, aby platilo \forall x\in B(x_0, r_m)\setminus\{x_0\}: |f_m(x)-a_m|. Tato r_m, r_n opět existují z konvergence limity.

Nyní uvážíme x\in B(x_0,\text{min}\{r_m,r_n\})\setminus\{x_0\}. Pro toto x platí |a_n-a_m| = |a_n-f_n(x)+f_n(x)-f(x)+f(x)-f_m(x)+f_m(x)-a_m|\leq |a_n-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-a_m| = \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{4}=\varepsilon.

Tedy posloupnost (a_n) je cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu: \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=a\in\mathbb{R}.

Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy \lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=a.

Opět mějme zadané \varepsilon>0. K němu nalezneme n_0\in\mathbb{N} takové, že \forall n\geq n_0: |a_n-a|. +more Existence takového n_0 plyne z konvergence posloupnosti (a_n). Dále najdeme n_1\in\mathbb{N} tak, aby platilo \forall n\geq n_1: \forall x\in B(x_0,r)\setminus\{x_0\}: |f_n(x)-f(x)|. To existuje ze stejnoměrné konvergence f_n\rightrightarrows f. Nyní uvážíme libovolné n > \text{max}\{n_0, n_1\} a toto n zafixujeme. Nalezneme r_1\in\mathbb{R}^+: \forall x\in B(x_0, r_1)\setminus\{x_0\}: |f_n(x)-a_n|.

Nakonec zvolíme r_2 = \text{min}\{r, r_1\}. Pak \forall x\in B(x_0, r_2)\setminus\{x_0\}: |f(x)-a|=|f(x)-f_n(x)+f_n(x)-a_n+a_n-a|\leq |f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-a_n|+|a_n-a|=\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon, čímž jsme tvrzení dokázali.

Význam

Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.

Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je f_n:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}: f_n(x)=x^n. Pak zjevně \lim\limits_{n\rightarrow\infty} f_n(1)=1 a zároveň f_n konverguje (avšak ne stejnoměrně) k funkci f(x)=0 \forall x\in [0,1), f(1)=1. +more Také ovšem platí \lim\limits_{x\rightarrow1}f(x)=0 , a tedy si limity ze znění nejsou rovny.

Využití

Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.

Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.

Moore-Osgood Theorem - ProofWiki. proofwiki.org [online]. [cit. 2019-04-12]. Dostupné online. https://proofwiki.org/wiki/Moore-Osgood_Theorem

Reference

Externí odkazy

# Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [url=://www. +moreresearchgate. net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions # A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]url=://www. jstor. org/stable/2266733. seq=1#metadata_info_tab_contents # HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space. Dover ed. Mineola, N. Y. : Dover Publications, 2007. . [/url]url=://epdf. tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763. html.

[[Kategorie:Matematická analýza]online]. Copyright © ResearchGate 2019. +more All rights reserved. [cit. 12. 04. 2019]. Dostupné z:[/url]. Copyright ©2000 [cit. 12. 04. 2019]. Dostupné z:[/url]] Kategorie:Matematické věty a důkazy.