Morleyova věta o kategoričnosti

Technology

12 hours ago

Author

Morleyova věta o kategoričnosti je jednou z nejdůležitějších vět teorie modelů. Dokázal ji roku 1962 americký matematik Michael Darwin Morley ve své disertační práci s názvem „Categoricity in Power“. Tuto větu později zobecnil Saharon Shelah.

Znění věty

Kategorická teorie

Řekneme, že teorie T je kategorická v kardinalitě \kappa (\kappa-kategorická), jsou-li každé dva modely T mohutnosti \kappa izomorfní.

Morleyova věta pro spočetný jazyk

Původní znění Morleyovy věty z roku 1962 je následující:

Nechť T je teorie v jazyce spočetné kardinality a nechť T je kategorická v nějaké nespočetné kardinalitě. Pak je T kategorická v každé nespočetné kardinalitě.

Shelahovo zobecnění pro libovolný jazyk

Saharon Shelah zobecnil původní Morleyovu větu i na teorie s nespočetným jazykem:

Nechť T je teorie v jazyce kardinality \lambda a nechť T je kategorická v nějaké kardinalitě \kappa>\lambda. Pak T je kategorická v každé kardinalitě \kappa>\lambda.

Příklady

Teorie algebraicky uzavřených těles dané charakteristiky p (p=0 nebo prvočíslo) je kategorická v kardinalitě 2^{\aleph_0} (viz funkce alef), tedy je podle Morleyovy věty kategorická v každé nespočetné kardinalitě, \aleph_0-kategorická však není. * Teorie čisté rovnosti je kategorická ve všech (včetně konečných) kardinalitách. +more * Teorie hustého lineárního uspořádání bez konců je \aleph_0-kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě. * Stejně tak teorie v jazyce obsahujícím jediný unární predikátový symbol E s axiomy „existuje nekonečně mnoho x takových, že E(x)“, „existuje nekonečně mnoho x takových, že \neg E(x)“ je \aleph_0-kategorická, ale není kategorická v žádné nespočetné kardinalitě.