Multilineární forma

Multilineární formu lze intuitivně chápat jako zobecnění lineární formy, eventuálně bilineární formy. Jde o zobrazení kartézského součinu vektorového prostoru na těleso jeho skalárů. Multilineární forma musí být v každé složce (proměnné) lineární zobrazení, to znamená, že při zafixování n-1 proměnných získáme lineární formu.

Definice

Nechť Y je vektorový prostor nad tělesem T. Pak funkce :\xi:Y^n \rightarrow T se nazývá multilineární forma, pokud pro z \in T, w, v_1,. +more v_n \in Y platí následující dva axiomy:.

F(v_1 + w, v_2, ... v_n) = F(v_1, v_2, ... v_n) + F(w, v_2, ... v_n)\,

F(z \cdot v_1, v_2, ... v_n) = z \cdot F(v_1, v_2, ... v_n)

Jedná se tedy o vektorovou funkcí více proměnných, která je v každé proměnné lineární. Multilineární forma je tenzor.

Antilineární zobrazení

Pokud by bylo z komplexní číslo, pak se v případě, že platí za stejných výchozích podmínek následující axiomy:

F(v_1 + w, v_2, ... v_n) = F(v_1, v_2, ... v_n) + F(w, v_2, ... v_n)\,

F(z \cdot v_1, v_2, ... v_n) = \overline{z} \cdot F(v_1, v_2, ... v_n)

jedná o antilineární zobrazení.

Příklad

Každá lineární i bilineární forma jsou multilineární formy.

Multilineární formou v prostoru se skalárním součinem je vnější součin vektorů.

Literatura

Související články

Lineární zobrazení * Lineární forma * Bilineární forma * Kvadratická forma

Kategorie:Lineární algebra