Multilineární forma

Multilineární formu lze intuitivně chápat jako zobecnění lineární formy, eventuálně bilineární formy. Jde o zobrazení kartézského součinu vektorového prostoru na těleso jeho skalárů. Multilineární forma musí být v každé složce (proměnné) lineární zobrazení, to znamená, že při položení fixní hodnoty n-1 vektorů získáme lineární formu.

Multilineární forma je tenzor.

Definice

Nechť \xi:Y_1 \times Y_2 \times . \times Y_n \rightarrow T je zobrazení na vektorovém prostoru Y nad tělesem T. +more Pak funkce.

F: Y^N \rightarrow T, F(Y^N) = \xi (Y^N)

se nazývá multilineární forma, pokud pro z \in T, w, v_1,... v_n \in Y platí následující dva axiomy:

F(v_1 + w, v_2, ... v_n) = F(v_1, v_2, ... v_n) + F(w, v_2, ... v_n)\,

F(z \cdot v_1, v_2, ... v_n) = z \cdot F(v_1, v_2, ... v_n)

Antilineární zobrazení

Pokud by bylo z komplexní číslo, pak se v případě, že platí za stejných výchozích podmínek následující axiomy:

F(v_1 + w, v_2, ... v_n) = F(v_1, v_2, ... v_n) + F(w, v_2, ... v_n)\,

F(z \cdot v_1, v_2, ... v_n) = \overline{z} \cdot F(v_1, v_2, ... v_n)

jedná o antilineární zobrazení.

Příklad

Každá lineární i bilineární forma jsou multilineární formy.

Multilineární formou v prostoru se skalárním součinem je vnější součin vektorů.

Literatura

Související články

Lineární zobrazení * Lineární forma * Bilineární forma * Kvadratická forma

Kategorie:Lineární algebra