Narozeninový problém

V teorii pravděpodobnosti je narozeninový problém úloha vypočítat minimální početnost skupiny lidí, ve které je alespoň 50% pravděpodobnost nalezení dvojice se stejným datem narození (den a měsíc). Narozeninovým paradoxem je pak označována skutečnost, že tento počet (23) je mnohem menší než intuitivní odhad. Pro skupinu 57 a více lidí je tato pravděpodobnost už více než 99 %, postupně rostoucí až ke 100 % pro 366 lidí (za předpokladu že pracujeme s rokem o 365 dnech). Matematika skrytá za tímto problémem vede k známému kryptografickému útoku zvanému narozeninový útok.

Výpočet pravděpodobnosti

+more5'>Graf s křivkou přibližné pravděpodobnosti, že alespoň dva lidé sdílejí narozeniny v dané skupině lidí. Pro výpočet pravděpodobnosti, že v místnosti s n lidmi alespoň dva mají narozeniny ve stejný den, budeme předpokládat rovnoměrné rozdělení narozenin během roku (tj. budeme ignorovat přestupné roky, dvojčata atd. ).

Je jednodušší nejprve spočítat pravděpodobnost p(n), že všech n narozenin je rozdílných. Pro n > 365 je tato pravděpodobnost, s ohledem na Dirichletův princip, rovna nule. +more Pro n ≤ 365 je dána vzorcem: :\begin{aligned} \bar p(n) &= 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right) \cdot \left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) = \\ &= { 365 \cdot 364 \cdots (365-n+1) \over 365^n } = \\ &= { 365. \over 365^n (365-n). } \end{aligned}.

Protože druhá osoba nemůže mít stejné narozeniny jako první (364/365), třetí nemůže mít stejné narozeniny jako první dvě (363/365), atd.

Skutečnost, že nejméně dva z n lidí mají stejné narozeniny je komplementární jevu, že všechna data narozenin jsou různá. Proto pravděpodobnost p(n) je : p(n) = 1 - \bar p(n) .

Tato pravděpodobnost překračuje 1/2 pro n = 23 (hodnota kolem 50,7 %). Následující tabulka ukazuje pravděpodobnosti pro některé další hodnoty n (Tabulka ignoruje přestupné roky, jak již bylo výše popsáno):

Tento problém může být vypočítán také jako (1 − variace (365, počet studentů) / variace s opakováním (365, počet studentů)).

Odkazy

Poznámky

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Narozeniny Kategorie:Teorie pravděpodobnosti Kategorie:Paradoxy Kategorie:Matematické problémy