Navierova–Stokesova rovnice

Technology

12 hours ago

Author

náhled Navierova-Stokesova rovnice je rovnice popisující proudění nestlačitelné newtonovské kapaliny. Jedná se o soustavu nelineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu. Rovnici odvodili Francouz Claude Navier a Ir George Stokes v letech 1827 a 1845 nezávisle na sobě.

Odvození

Rovnici lze odvodit z bilance sil působících na tekutinu. Navierova-Stokesova rovnice je však speciálním případem obecné Cauchyho pohybové rovnice tekutiny, z níž lze Navierovu-Stokesovu rovnici odvodit dosazením tenzoru napětí pro newtonovskou tekutinu. +more Navierova-Stokesova rovnice se dá zapsat několika způsoby, například následovně.

\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}\cdot\nabla\vec{u}=-\frac{1}{\varrho}\nabla p+\nu\nabla^2\vec{u}+\vec{f}

Význam jednotlivých členů:

místní zrychlení + konvektivní zrychlení = zrychlení způsobené tlakovým spádem (gradientem)+ zrychlení potřebné k překonání třecích sil + zrychlení způsobené objemovými silami

Symboly: \vec{u} je rychlost, p je tlak, t je čas, \varrho je hustota, \nu je kinematická viskozita, \vec{f} je součet intenzit objemových sil (často jen tíhové zrychlení \vec{g}), \nabla je operátor nabla, \cdot je symbol skalárního součinu podle konvence, že \vec{u} \cdot \nabla = u_x \frac{\partial}{\partial x} + u_y \frac{\partial}{\partial y} + u_z \frac{\partial}{\partial z}\,.

Řešení

Navierova-Stokesova rovnice je analyticky řešitelná jen v několika málo případech jednoduchých toků. Ve složitějších případech je nutno rovnici řešit numericky.

Nadace Clayova matematického ústavu zařadila důkaz existence hladkého řešení Navierovy-Stokesovy rovnice ve třech dimenzích na seznam sedmi nejdůležitějších matematických problémů (takzvaných Problémů tisíciletí). Na každý z nich je vypsána odměna milion dolarů.