Cesko.wiki Nejmenší společný násobek
Author
Albert FloresNejmenší společný násobek (zkratka NSN či n, - LCM) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.
Příklad
Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.
Výpočet pomocí rozkladu
Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. +more součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.
Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)
# Zadaná čísla: 15 a 20 # Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5 # Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5 # Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.
Ukázka (součin největších možných mocnin)
# Zadaná čísla: 36, 40 # 36 = 22 × 32 # 40 = 23 × 51 # Výsledek: n(36, 40) = 23 × 32 × 51 = 360
Ukázka se třemi čísly
# Zadaná čísla: 15, 20, 90 # 15 = 3 × 5 # 20 = 2 × 2 × 5 # 90 = 2 × 3 × 3 × 5 # Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180
Výpočet pomocí NSD
Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:
:NSN\left(a,b\right) = \frac {a \times b}{NSD\left(a,b\right)}
Využití
NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například: :\frac {1}{6}+\frac {1}{33}=\frac {11}{66} + \frac {2}{66} = \frac {13}{66}
Vlastnost nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele
Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.
Důkaz
Jestliže největší společný dělitel dvou čísel a\,\. a b\,\. +more je x\,\. , potom lze číslo a rozložit na součin x \cdot y a číslo b\,\. lze rozložit na součin x \cdot z. Je-li x skutečně největším společným dělitelem, potom x \cdot y \cdot z je nejmenším společným násobkem. Součin a \cdot b je roven x \cdot y \cdot x \cdot z, což je také součin NSD a NSN.
Reference
Související články
Externí odkazy
[url=http://do-skoly. cz/cs/courses/math/m-2/least-common-multiple/calculator. +moreaspx]do-skoly. cz[/url] - Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 - 5 čísel včetně postupu řešení.