Cesko.wiki Norma matice
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert FloresNorma matice je pojem z lineární algebry, který popisuje matici jako úplně určenou strukturu. Toto pojetí je důležité především pro základní operace s maticemi, jako je jejich sčítání a násobení. Norma matice je číslo, které vyjadřuje velikost matice a může být získána různými způsoby, například součtem absolutních hodnot jejích prvků nebo jako maximální hodnota všech prvků matice. V článku jsou popsány různé definice norem a jejich vlastnosti, jako je submultiplikativnost nebo ekvivalence různých norm. Dále se článek zabývá také konkrétními příklady a aplikacemi norem matice v matematice a informatice.
Norma matice nebo maticová norma je norma nad prostorem matic. Jde tedy o zobrazení, které matici A z T^{m \times n} (kde T je těleso reálných nebo komplexních čísel a m, n přirozená čísla, rozměry matice) přiřadí reálné číslo \|A\| splňující následující vlastnosti: * \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\| pro každý skalár \alpha, * \|A+B\| \le \|A\|+\|B\| pro libovolné matice A, B téhož rozměru (trojúhelníková nerovnost, někdy též subaditivita), * \|A\|\ge 0, * \|A\|= 0 právě když A je nulová matice (obsahuje samé nuly). Pokud se jedná o čtvercové matice, lze požadovat další vlastnost, zvanou submultiplikativita: * \|AB\| \le \|A\|\|B\| pro libovolné matice A, B téhož rozměru. Norma, která tuto vlastnost má, se nazývá submultiplikativní. V některých pramenech se jiné druhy maticových norem neuvažují, a pak se mluví prostě o maticové normě.
Důležitá třída maticových norem jsou normy souhlasné s vektorovými normami. Lze je definovat jako normy lineárních operátorů mezi normovanými vektorovými prostory, přičemž tyto operátory jsou zapsány maticemi. +more Maticové normy jsou pak generovány či indukovány vektorovými normami tak, aby platilo : \begin{align} \|A\| &= \sup\{\|Ax\| : x\in T^n \text{ pro }\|x\|= 1\} \\ &= \sup\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} : x\in T^n \text{ pro }x\ne 0\right\}. \end{align} Příkladem takové normy je Frobeniova neboli Hilbertova-Schmidtova norma.
:\|A\|_{\rm F} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2} = \sqrt{\operatorname{trace}\left(A^\textsf{T} A\right)},
indukovaná eukleidovskými normami v prostoru vzorů i obrazů operátoru A.