Odmocnina

Graf kvadratické funkce (červeně) a k ní inverzní funkce druhá odmocnina (modře) Odmocňování v matematice je částečně inverzní operací k umocňování, odmocnina je výsledkem této operace. Částečně proto, že definiční obory těchto dvou operací nejsou obecně vždy shodné. Je-li definováno umocňování nějakých matematických objektů (čísel, matic, funkcí…), pak n-tá odmocnina z objektu a, označovaná jako \sqrt[n]{a}, je definována jako objekt b, pro který platí b^{n}=a. Číslo n se přitom nazývá odmocnitel a číslo a odmocněnec. Speciálním případem je druhá odmocnina, která se často označuje jen jako odmocnina a značí \sqrt{a}.

Odmocnina nemusí vždy v daném číselném oboru existovat (neexistují např. druhé odmocniny záporných čísel v oboru reálných čísel), anebo může naopak existovat více různých odmocnin.

Odmocnina z reálného čísla

V oboru reálných čísel je n-tá odmocnina z reálného čísla definována následovně:

Pro libovolné n ∈ N definujeme n odmocninu z nezáporného reálného čísla a jako nezáporné reálné číslo b, pro které platí b^{n}=a. Značíme b = \sqrt[n]{a}.

Pro n = 2 definice druhé odmocniny z reálného čísla zní takto:

Druhá odmocnina z nezáporného reálného čísla a je nezáporné reálné číslo b, pro které platí, že b \cdot b=a. Značíme b=\sqrt{a}.

Přestože platí například 2 \cdot 2=4 a současně také (-2) \cdot (-2)=4, druhá odmocnina z čísla 4 je podle definice vždy nezáporné číslo, proto \sqrt{4}=2.

Je nutné rozlišovat mezi hodnotou odmocniny a kořeny řešení rovnice, například x^{2}-4=0. V oboru reálných čísel má tato rovnice dvě různá řešení, dva různé kořeny: x_{1}=2 a x_{2}=-2.

Odmocnina z nezáporného čísla

Pokud a, b jsou nezáporná čísla, tedy včetně nuly, m, n jsou přirozená čísla a k je číslo celé, pak pro n odmocninu platí tyto vzorce: : \sqrt[n]{0} = 0

: \sqrt[n]{1} = 1

: \sqrt[1]{a} = a

: \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \qquad a \ge 0, b \ge 0

:\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \qquad a \ge 0, b > 0

: \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}

: (\sqrt[m]{a}) \sqrt[n]{a} = \sqrt[mn]{a^{(m+n)}}

: \sqrt[n]{a^k} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^k = \left(a^{\frac{1}{n}}\right)^k = a^{\frac{k}{n}} \qquad a > 0

Odmocnina ze záporného čísla

Pokud a je nezáporné číslo, m je přirozené číslo nebo nula a n je ve tvaru n=2m+1 (tedy je to liché číslo), pak platí:

: \sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}

Početní operace s mocninami a odmocninami reálného čísla

N odmocninu z nezáporného čísla a můžeme upravit na mocninu tohoto čísla takto:

: \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}

Pak lze s těmito mocninami počítat stejně, jako s mocninou a^n . A platí tyto vztahy: :a^m a^n = a^{m+n} \,

:\left({\frac{a}{b}}\right)^m = \frac{a^m}{b^m} \qquad b > 0

:(a^m)^n = a^{mn} \,

Příklady použití: :\sqrt[3]{a^5}\sqrt[5]{a^4} = a^\frac{5}{3} a^\frac{4}{5} = a^\frac{25 + 12}{15} = a^\frac{37}{15}

:\frac{\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}} = a^\frac{1}{2}a^\frac{-1}{4}= a^\frac{2 - 1}{4} = a^\frac{1}{4}

Odmocnina z komplexního čísla

Pro výpočet n-té odmocniny je vhodné vyjádřit odmocňované komplexní číslo z v goniometrickém tvaru jako z=|z|( \cos \phi + i \sin \phi) , případně v exponenciálním tvaru jako z=|z|e^{i\phi} .

Potom hledaná odmocnina je

\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]

z

e^{i(\phi+2k\pi)/n} = \sqrt[n][wiki_table=a4e922a1]\Bigl( \cos {\frac{\phi+2k\pi}{n}} + i \sin {\frac{\phi+2k\pi}{n}}\Bigr) ,

kde k je libovolné celé číslo.

Různých n-tých odmocnin z libovolného nenulového čísla je v komplexním oboru právě n. Druhé odmocniny z komplexních čísel jejichž reálná část je kladná a imaginární část je nulová, jsou v komplexním oboru vždy dvě komplexní čísla jejichž reálné části jsou opačná reálná čísla a imaginární části jsou nulové. +more Druhé odmocniny z komplexních čísel se zápornou reálnou částí a imaginární částí nulovou jsou vždy dvě ryze imaginární čísla, jež se liší znaménkem, např. komplexní druhé odmocniny čísla -1 jsou imaginární jednotka i a číslo -i.

Symbol pro odmocninu

Vysvětlení původu znaku pro odmocninu (\sqrt{\,\,}) je do značné míry spekulativní. Někteří historici matematiky se domnívají, že symbol poprvé použili Arabové. +more První známé použití je totiž u Abú al-Hasan Alí ibn Muhammad al-Qalasádího (1421-1486) a domněnkou je, že byl tento znak převzat z arabského písmene ج, což je první písmeno ve slově džidhr, které v arabštině znamená kořen (např. kořen řešení kvadratické rovnice).

Ale mnozí, včetně matematika Leonharda Eulera, se domnívají, že znak pochází z písmene r, prvního písmene latinského slova radix, které také znamená kořen.

Symbol byl poprvé použit v tisku (bez horní vodorovné čáry nad odmocňovanými čísly) v roce 1525 v díle Die Coss od německého matematika Christoffera Rudolffa.

Související články

Druhá odmocnina * Mocnina * Babylónská metoda - iterační algoritmus pro výpočet odmocniny

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Algebra