Cesko.wiki Operátor
Author
Albert FloresČlánek "Operátor" na české Wikipedii je encyklopedickým záznamem, který se zabývá pojmem "operátor" v širokém spektru oborů. Text začíná tím, že definuje operátora jako osobu nebo entitu, která provádí nebo ovládá jakoukoli činnost, ať už v oblasti techniky, matematiky, informačních technologií, výroby nebo v jiných odvětvích. Článek dále pokrývá různé typy operátorů, včetně technických operátorů, jako jsou autovlaky, ropné plošiny, výtahy nebo filmové kamery, a operátorů v oblasti matematiky a logiky, kteří provádějí operace s čísly a symboly. Další části článku se zaměřují na operační systémy a jejich uživatele, jako jsou výpočetní operátory, kteří pracují s počítačovými systémy a sítěmi, a telefonní operátoři, kteří spravují telefonní linky a poskytují komunikační služby. Dále je v článku zmíněno využití operátorů v průmyslu, včetně strojových operátorů a obsluhy strojů. Zmiňuje také operátory veřejné dopravy, jako jsou autobusoví a tramvajoví řidiči, a operátory ve zdravotnictví, kteří ovládají diagnostické a léčebné přístroje. Text také popisuje způsob přípravy a vzdělávání operátorů, které se liší podle druhu činnosti a potřeb každého oboru. Na konci článku jsou uvedeny také související články a informace o operátorech v českém prostředí.
Operátor \hat A je v matematice takové zobrazení, které prvku nějakého prostoru (například funkci) f přiřazuje prvek jiného prostoru g, tedy :\hat A f = g, kde f \in \mathbf{X}, g \in \mathbf{Y}. Působením operátoru \hat A na f tedy získáme g. Říkáme, že na X je dán operátor \hat A, zobrazující prostor X do prostoru Y.
Operátor se obvykle značí stříškou, například \hat H, \hat p, apod.
Prvek f \in \mathbf{X} se nazývá vzor (originál), prvek g \in \mathbf{Y} obrazem.
Množina všech g \in \mathbf{Y}, které přísluší všem f \in \mathbf{X}, tedy množina všech obrazů, se nazývá obor hodnot operátoru \hat A. Obvykle se značí \mathrm{Rng}(\hat A). +more Pokud operátor není definován pro všechna f \in \mathbf{X}, pak se množina těch f \in X, pro které definován, nazývá definičním oborem operátoru. Významově se tedy pojem operátor dosti překrývá s konceptem zobrazení, ale typicky se používá v kontextu prostorů funkcí, které samy jsou zobrazeními; pro přehlednost je tedy užitečné tuto vyšší úroveň zobrazování pojmenovat jinak.
Jako operátor se v matematice a informatice dále označuje značka nějaké matematické transformace, například znaménko + jako značka přičítání.
Funkcionál
Pokud je \mathbf{Y} množina reálných, případně komplexních čísel, takže proměnná g je reálné či komplexní číslo, pak se operátor \hat A nazývá (reálný či komplexní) funkcionál.
Vybrané druhy operátorů
Lineární operátor
Lineární operátor \hat A je takový operátor, pro který platí :\hat A \bigl(\sum_i c_i f_i\bigr) = \sum_i c_i (\hat A f_i) kde f_i jsou libovolné funkce a c_i jsou libovolné koeficienty.
Linearitu operátoru \hat A stačí ověřit na dvou sčítancích. Tedy že pokud existují libovolné koeficienty c_1, c_2 a libovolné vektory f_1, f_2, g_1, g_2 takové, že g_1 = \hat A f_1 a g_2 = \hat A f_2, pak platí :\hat A (c_1 f_1 + c_2 f_2) = c_1 \hat A f_1 + c_2 \hat A f_2 = c_1 g_1 + c_2 g_2 Pro libovolnou konečnou sumu se pak dá tvrzení dokázat matematickou indukcí.
Ještě jednodušeji vyjádřeno stačí ověřit, že platí tyto dvě vlastnosti:
1) \hat A(x+y) = \hat A(x) + \hat A(y),
2) \hat A(cx) = c \hat A(x), kde c je konstanta.
Lineárním operátorem \hat A je například limita, když x a y jsou funkce nebo posloupnosti. Limita je lineární operace a protože derivace je definována pomocí limit, je též lineárním operátorem. +more Integrál je inverzní operátor k derivaci, je tedy též lineárním operátorem.
Antilineární operátor
Operátor se označuje jako antilineární, jestliže platí :\hat A \sum_i c_i f_i = \sum_i c_i^* \hat A f_i, kde f_i jsou libovolné funkce a c_i^* jsou koeficienty komplexně sdružené k c_i.
Operátor identity
Důležitým operátorem je operátor identity (jednotkový operátor) \hat I, pro který platí :\hat I f = f
Působením operátoru identity \hat I tedy nedochází k žádné změně.
Totožné operátory
Pokud pro dva operátory \hat A, \hat B z X do Y platí \hat A f = \hat B f pro každé f \in \mathbf{X}, pak jsou oba operátory totožné.
Spojitý operátor
Operátor \hat A se nazývá spojitý v bodě f_0 \in \mathbf{X}, jestliže pro každou posloupnost prvků \{f_n\} z \mathbf{X}, pro kterou v prostoru \mathbf{X} platí f_n \to f_0, platí také \hat A f_n \to \hat A f_0, tzn. g_n \to g_0, v prostoru \mathbf{Y}.
Lineární operátor, který je spojitý v nějakém bodě f_1 \in \mathbf{X}, je spojitý v každém bodě f \in \mathbf{X}.
Omezený operátor
Operátor \hat A je ohraničený (omezený) operátorem tehdy, jestliže existuje takové \mu > 0 (nezávislé na f), že pro každé f \in \mathbf{X} platí :{\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} \leq \mu {\|f\|}_\mathbf{X}, kde {\|f\|}_\mathbf{X} je norma funkce (vlastního řešení) f v prostoru X a {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} je norma prvku \hat A f v prostoru Y.
Lineární operátor je spojitý právě když je omezený. Platí, že součin omezených operátorů představuje opět omezený operátor. +more Podobně platí, že součet omezených operátorů je opět omezeným operátorem.
Infimum čísel \mu operátoru \hat A představuje normu operátoru \|\hat A\|, tzn. :\|\hat A\| = \inf \mu
Normu lze také získat jako supremum množiny čísel {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y} pro všechny jednotkové prvky f, tzn. :\|\hat A\| = \sup_{{\|f\|}_\mathbf{X} = 1, f \in \mathbf{X}} {\|\hat A f\|}_\mathbf{Y}
Symetrický, hermitovský a sdružený operátor
Operátor \hat A se označuje jako symetrický, jestliže platí :\langle f|\hat A g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle kde bylo použito zápisu pomocí Diracovy symboliky běžně užívané v kvantové fyzice.
Omezený symetrický operátor se označuje jako hermitovský.
Operátor \hat A se označuje jako antihermitovský, je-li operátor \mathrm{i} \hat A hermitovský.
K operátoru \hat A existuje sdružený operátor {\hat A}^+, který splňuje vztah :\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = \langle \hat A f|g\rangle neboli :\langle f|{\hat A}^+ g\rangle = {\langle g|\hat A f\rangle}^*
Platí vztahy :\|{\hat A}^+\| = \|\hat A\| :{({\hat A}^+)}^+ = \hat A :{(\hat A + \hat B)}^+ = {\hat A}^+ + {\hat B}^+ :{(\hat A \hat B)}^+ = {\hat B}^+ {\hat A}^+ :{(\lambda \hat A)}^+ = \lambda^* {\hat A}^+
Operátor  se nazývá samosdružený, jestliže platí :{\hat A}^+ = \hat A
Pro omezené operátory jsou pojmy samosdružený, hermitovský a symetrický ekvivalentní.
Samosdružený operátor \hat A je pozitivní, když pro každé |u\rangle platí :\langle u|\hat A|u\rangle \ge 0
Operátor se označuje jako normální, když platí :[\hat A,{\hat A}^+] = 0, kde [,] označují komutátor.
Inverzní operátor
Operátor {\hat A}^{-1} je inverzním operátorem k \hat A, pokud platí :\hat A {\hat A}^{-1} = {\hat A}^{-1} \hat A = \hat I, kde \hat I představuje operátor identity. Inverzní operátor k danému operátoru nemusí existovat.
Platí vztahy (existují-li obě strany výrazů) :{(\hat A \hat B)}^{-1} = {\hat B}^{-1} {\hat A}^{-1} :{({\hat A}^+)}^{-1} = {({\hat A}^{-1})}^+
Unitární operátor
Operátor \hat A je unitární, pokud platí :{\hat A}^+ = {\hat A}^{-1} neboli :{\hat A}^+ \hat A = \hat A {\hat A}^+ = \hat I, kde \hat I je operátor identity.
Pro libovolný unitární operátor \hat A platí :\langle \hat A u|\hat A v\rangle = \langle u|v\rangle
Jestliže operátor \hat M splňuje vztah :\langle \hat M u|\hat M v\rangle = \langle u|v \rangle, pak operátor \hat M označujeme jako izometrický. Izometrický operátor sice splňuje vztah {\hat M}^+ \hat M = \hat I, avšak na rozdíl od operátoru unitárního může být \hat M {\hat M}^+ \ne \hat I.
Projekční operátor
Omezený operátor \hat E se označuje jako projekční, splňuje-li podmínky :\hat E = {\hat E}^+ = {\hat E}^2
Je-li \hat E projekční operátor, pak je projekčním operátorem také :{\hat E}^\prime = \hat I - \hat E, kde \hat I představuje operátor identity. Platí přitom vztahy :\hat E + {\hat E}^\prime = \hat I :\hat E {\hat E}^\prime = 0
Je-li |\psi_k\rangle vektor normalizovaný k jednotce, pak projekční operátor do jednorozměrného podprostoru tvořeného všemi vektory lineárně závislými na |\psi_k\rangle lze vyjádřit jako :\hat E_k = |\psi_k\rangle\langle\psi_k|
Jestliže množina vektorů \{|\psi_k\rangle\} tvoří ortonormální bázi podprostoru H_1, pak projekční operátor do H_1 \subset H vyjádříme jako :\sum_k \hat E_k = \sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k|
Pokud je H_1 = H, pak je projekční operátor operátorem identity, takže :\sum_k |\psi_k\rangle\langle\psi_k| = \hat I Tento vztah představuje tzv. relaci úplnosti (uzavřenosti).
Operace s operátory
Součtem dvou operátorů \hat A, \hat B vznikne operátor \hat C = \hat A + \hat B, pro který platí :\hat C u = (\hat A + \hat B) u = \hat A u + \hat B u
Operátor \hat C označíme jako součin operátorů \hat A a \hat B, tzn. \hat C= \hat A \hat B, pokud pro každé u platí :\hat C u = \hat A (\hat B u)
Pomocí předchozího vztahu lze definovat mocninu operátoru, například {\hat A}^2 = \hat A \hat A.
Násobení operátorů není komutativní, tedy v obecném případě pro dva operátory \hat A, \hat B neplatí \hat A \hat B = \hat B \hat A. Abychom vystihli vzájemnou nekomutativnost dvou operátorů \hat A, \hat B, zavádíme tzv. +more komutátor operátorů :[\hat A,\hat B] = {[\hat A, \hat B]}_- = \hat A \hat B - \hat B \hat A.
Dva nekomutativní operátory \hat A, \hat B splňují pro některé u vztah :[\hat A,\hat B] \ne 0 Dva komutativní operátory \hat A, \hat B splňují pro libovolné u vztah :[\hat A,\hat B] = 0
Jsou-li lineární hermiteovské operátory \hat A, \hat B komutativní, pak mají společné vlastní funkce.
Jestliže operátory \hat A, \hat B komutují, tedy [\hat A,\hat B]=0, pak pro libovolné funkce f, g platí :[f(\hat A),g(\hat B)] = 0
Kromě komutátoru se zavádí také antikomutátor operátorů :\{\hat A,\hat B\} = {[\hat A,\hat B]}_+ = \hat A \hat B + \hat B \hat A
Z definice komutátoru a antikomutátoru vzniknou následující vztahy: :[\hat A,\hat B] = -[\hat B, \hat A] :[\hat A,\hat B + \hat C] = [\hat A,\hat B] + [\hat A, \hat C] :[\hat A,\hat B \hat C] = [\hat A,\hat B]\hat C + \hat B[\hat A,\hat C] = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B\{\hat A,\hat C\} :[\hat A \hat B,\hat C] = \hat A[\hat B,\hat C] + [\hat A,\hat C]\hat B = \hat A \{\hat B,\hat C\} - \{\hat A,\hat C\}\hat B :\{\hat A,\hat B\} = \{\hat B,\hat A\} :\{\hat A,\hat B + \hat C\} = \{\hat A,\hat B\} + \{\hat A,\hat C\} :\{\hat A,\hat B \hat C\} = \{\hat A,\hat B\}\hat C - \hat B[\hat A,\hat C] = \hat B\{\hat C,\hat A\} - [\hat B,\hat A]\hat C :\{\hat A \hat B,\hat C\} = \hat A\{\hat B,\hat C\} - [\hat A,\hat C]\hat B = \{\hat C,\hat A\}\hat B - \hat A[\hat C,\hat B]
Platí také Jacobiho identita :[\hat A,[\hat B,\hat C]] + [\hat B,[\hat C,\hat A]] + [\hat C,[\hat A,\hat B]]=0
Příklad
Příkladem lineárního operátoru může být operátor \hat A = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, který funkci, na niž je aplikován, přiřazuje její derivaci podle proměnné x. * Nelineárním operátorem je operátor \hat A = \sin. +more Působením tohoto operátoru na libovolnou funkci f vyjde \hat A f = \sin f.
Použití
Operátory jsou nepostradatelné jak v diferenciálním počtu v matematice (například operátor nabla), tak při použití v kvantové mechanice a při zjednodušování zápisu identit (rovnic) jinde ve fyzice. Používají se také při zápisu počítačových programů v programovacích jazycích.
Arita
Arita jako pojem udává počet operandů daného operátoru: # unární - operátor s jedním operandem, například negace, ať aritmetická, logická či doplněk množiny (v rámci zamlčeného definičního oboru). # binární - jde o nejčastější případ, tedy pokud se v praxi mluví o operátoru, typicky jde o operátor se dvěma operandy: Je nejintuitivnější při našem lidském lineárním zápisu textu. +more Například: +-*^ # ternární - operátorů se třemi operandy je jen málo, v porovnání s množstvím binárních jsou výjimečné. Typickým zástupcem je ternární operátor z programování.
Slovo "arita" pochází z latinského kořene adjektiva popisujícího počet operandů operátoru, zda je tento: un-ár(ní), bin-ár(ní), tern-ár(ní)...
Související články
Zobrazení * Množina * Vlastní číslo * Vektorový prostor * Kvantová fyzika * Programovací jazyk * Diracova symbolika