Ortogonální souřadnice

Technology

12 hours ago

Author

Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.

Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.

Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic \mathbf{q}, jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti \mathrm{d}s^{2} může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn. +more :\mathrm{d}s^{2} = \sum_{k=1}^{D} \left( h_{k} \mathrm{d}q_{k} \right)^{2}, kde D je dimenze prostoru a funkce h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru g_{ik}(\mathbf{q}).

Vektory a integrály

Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice \mathrm{d}q_{m} jako \mathrm{d}s_{m} = h_{k} \mathrm{d}q_{k}. Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru \mathbf{r} jako :\mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_{k=1}^{D} h_{k} \mathrm{d}q_{k} \mathbf{e}_{k}, kde \mathbf{e}_{k} jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic q_{k}. +more Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.

Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn. :\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \sum_{k=1}^{D} A_{k} B_{k}

Tedy např. integrál po křivce \mathcal{C} má v ortogonálních souřadnicích tvar :\int_{\mathcal{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_{k=1}^{D} \int_{\mathcal{C}} F_{k} h_{k} \mathrm{d}q_{k}, kde F_{k} je složka vektoru \mathbf{F} ve směru k-tého jednotkového vektoru \mathbf{e}_{k} :F_{k} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \mathbf{e}_{k} \cdot \mathbf{F}

Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát \mathrm{d}P = \mathrm{d}s_{i} \mathrm{d}s_{j} = h_{i} h_{j} \mathrm{d}q_{i} \mathrm{d}q_{j}, kde i \neq j, a pro infinitezimální element objemu \mathrm{d}V = \mathrm{d}s_{i} \mathrm{d}s_{j} \mathrm{d}s_{k} = h \mathrm{d}q_{i} \mathrm{d}q_{j} \mathrm{d}q_{k}, kde h \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ h_{i} h_{j} h_{k} a i \neq j \neq k. Např. +more integrál přes plochu \mathcal{S} ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar : \int_{\mathcal{S}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{\mathcal{S}} F_{1} h_{2} h_{3} \mathrm{d}q_{2} \mathrm{d}q_{3} + \int_{\mathcal{S}} F_{2} h_{3} h_{1} \mathrm{d}q_{3} \mathrm{d}q_{1} + \int_{\mathcal{S}} F_{3} h_{1} h_{2} \mathrm{d}q_{1} \mathrm{d}q_{2}.

Diferenciální operátory ve třech rozměrech

Gradient lze vyjádřit jako :\nabla \Phi = \frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} + \frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}}

Laplaceův operátor má tvar :\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( \frac{h_{2} h_{3}}{h_{1}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{1}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( \frac{h_{3} h_{1}}{h_{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{2}} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( \frac{h_{1} h_{2}}{h_{3}} \frac{\partial \Phi}{\partial q_{3}} \right) \right]

Operátor divergence se zapíše jako :\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( F_{1} h_{2} h_{3} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( F_{2} h_{3} h_{1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( F_{3} h_{1} h_{2} \right) \right]

kde F_{k} je k-tá složka vektoru \mathbf{F}.

Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru : \nabla \times \mathbf{F} = \frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{3} F_{3} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{2} F_{2} \right) \right] + \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{3}} \left( h_{1} F_{1} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{3} F_{3} \right) \right] + \frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}} \left[ \frac{\partial}{\partial q_{1}} \left( h_{2} F_{2} \right) - \frac{\partial}{\partial q_{2}} \left( h_{1} F_{1} \right) \right]