Paretovo optimum

Paretovo optimum formuloval italský ekonom Vilfredo Pareto. Je to takový stav společnosti (z hlediska ekonomického), kdy žádný jedinec nebo skupina již nemůže dosáhnout lepšího postavení bez toho, že by se naopak postavení někoho jiného zhoršilo. Je to tedy jakýsi rovnovážný stav, kdy, pokud se někdo chce mít ještě lépe, než na tom je, může tak učinit jen na úkor někoho jiného.

Takovéto optimum má následující vlastnosti:

* nevyžaduje interpersonální porovnávání ani sčítání individuálních uspokojení * jedná se o množinu individuálních optim jedinců * může se vyskytovat mnoho takovýchto optim

Existují dvě varianty Paretova optima: silné Paretovo optimum a slabé Paretovo optimum. Silné Paretovo optimum tvrdí, že s jakoukoli změnou nastane pro alespoň jednoho z účastníků zhoršení. +more Slabé paretovo optimum na druhou stranu pojednává o tom, že jakákoli změna nemusí postavení ani jednoho z účastníků zlepšit, ale může ho zhoršit.

Ekonomie blahobytu a sociální stabilita

Paretovo optimum představuje takovou situaci, za které se všichni mají tak dobře, jak jen to na daném stupni rozvoje ekonomiky vůbec lze. To ovšem neznamená, že jsou všichni spokojeni. +more Je totiž potřeba si povšimnout, že takové optimum neexistuje pouze jedno, ale může jich být velice mnoho. Společnost tak může dosahovat různých paretovských optim. Na jedné straně se může jednat o optimum, kdy jsou na tom všichni ve společnosti přibližně stejně, nebo na druhé straně o optimum, kdy je jedna část společnosti velmi bohatá, ale druhá je naopak velmi chudá. I takováto společnost však může dojít k optimálnímu vyrovnanému stavu, kdy žádný z bohatých už nemůže víc zbohatnout, aniž by se tím někdo jiný nestal ještě chudším - a ani žádný z chudých se nemůže stát bohatším, aniž by se tak stalo na něčí úkor. Je nasnadě, že tato společnost, ač paretovsky optimální, bude chudší částí považována za velmi nespravedlivou. Bude tím náchylná k sociálním nepokojům a bude labilní. Udržení takového uzavřeného systému bude jen za cenu direktivního řízení a kontroly. Pokud by se zvýšil blahobyt jedné osoby, aniž by se snížil blahobyt někoho jiného, jednalo by se o tzv. Paretovo zlepšení. Pareto touto teorií položil základy ekonomie blahobytu.

Kontrakční křivka

Kontrakční křivka, též zvaná Paretova křivka, reprezentuje ideální konečné rozdělení dvou zboží mezi dva spotřebitele dle jejich preferencí. Popisuje efektivní výsledek výhodného směňování zboží na základě jeho počáteční alokace. +more Jelikož prvotní alokace nemusí vyhovovat spotřebitelským preferencím, dochází ke směně zboží do té doby, dokud výsledný stav nebude ležet na křivce. Pokud se dostaneme do bodu, který na křivce leží, nastává Paretovo optimum. V tomto stavu není možné zlepšit stav jednoho ze spotřebitelů bez toho, aniž by se stav druhého ze spotřebitelů zhoršil. Speciálním případem je situace, kdy prvotní alokace přidělí veškeré zboží pouze jednomu spotřebiteli a druhému nepřidělí nic. Tím pádem se nutně dostáváme do budu Paretova optima, jelikož jakékoliv další přerozdělení by vedlo k tomu, že by spotřebitel s veškerým zbožím musel část obětovat, tedy by se jeho stav zhoršil. Edgeworthově diagramu. Kontrakční křivka je reprezentována v Edgeworthově krabicovém diagramu ve kterém alokace každého spotřebitele je měřena vertikálně pro jedno zboží a horizontálně pro druhé zboží. Stav, kdy veškeré zboží je alokováno spotřebitelem Abby, se nachází v bodě ležícím v levém dolním rohu (označený O). Pokud naopak bude veškeré zboží alokováno spotřebitelem Octaviem, stav bude reprezentován bodem v pravém horním rohu (označený A).

Příklad

Představme si ekonomiku, ve které existují pouze dva spotřebitelé Octavius a Abby a pouze dvě zboží X a Y. K tomu předpokládejme počáteční distribuci zboží mezi oba spotřebitele. +more Preference zboží Abby a Octávia jsou na grafu reprezentované indiferenčními křivkami. Pokud se počáteční distribuce nenachází v bodě tečnosti některých indiferenčních křivek Octavia a Abby, pak tato prvotní alokace nebyla pareto-optimální. Aby tohoto stavu dosáhli, budou obchodovat. Abby směňuje zboží s nižší preferencí za zboží s vyšší preferencí, stejně tak tomu je u Octávia. Tento obchod bude probíhat dokud se jejich mezní míra substituce (odpovídá absolutní hodnotě sklonu indiferenční křivky a vyjadřuje ochotu obchodovat) nebude rovnat. Po dosažení rovnosti se alokace zboží posune do bodu, který leží na kontrakční křivce. Tím došlo k Pareto-optimální alokaci zboží.

Výpočet

Jak již jsme si řekli, Paretovo optimum není pouze jedno, ale je jich nekonečně mnoho, protože také indiferenčních křivek je nekonečně mnoho. Pareto-optimální body lze znázornit kontrakční křivkou. +more Ta je tvořena body, ve kterých je indiferenční křivka jednoho spotřebitele tečnou k indiferenční křivce druhého spotřebitele. V těchto bodech se mezní míra substituce obou spotřebitelů rovná, což znamená že poměr zboží, ve kterém je spotřebitel ochoten obchodovat je roven u obou spotřebitelů. Představme si, že oba spotřebitelé chtějí vyměnit kokos za banán. Pokud tedy dojde k výměně, nebude to mít na výsledný stav žádný vliv a ani jeden si tímto obchodem nepolepší. Znázornění kontrakční křivky, indiferenčních křivek uživatele A (zelená) a indiferenčních křivek uživatele B (oranžová) v Edgeworthově diagramu. Funkci udávající kontrakční křivku lze vypočítat na základě rovnosti mezních měr substituce obou spotřebitelů.

Příklad

Představme si směnnou ekonomiku, ve které existují pouze dva spotřebitelé a dva typy zboží.

Spotřebitel A, jehož užitek zboží x a y je vyjádřen funkcí: UA=x0,7 y0,3

Spotřebitel B, jehož užitek zboží x a y je vyjádřen funkcí: UB=x0,9 y0,1

V ekonomice je alokováno celkem 20 kusů zboží x a 10 kusů zboží y.

Abychom mohli vypočítat mezní míru substituce, musíme nejprve vypočítat mezní míru užitku po obě zboží.

MU_{x_A}=\frac{\partial U_A}{\partial x_A}=\frac{0,7 \cdot y_A^{0,3}}{x_A^{0,3}}

MU_{y_A}=\frac{\partial U_A}{\partial y_A}=\frac{0,3 \cdot x_A^{0,7}}{y_A^{0,7}}

Mezní míra substituce (MRS) se rovná podílu mezního užitku (MU) zboží x a zboží y.

MRS_A=\frac{MU_{x_A}}{MU_{y_A}}=\frac{7y_A}{3x_A}

Analogicky bychom postupovali při výpočtu mezní substituce spotřebitele B.

MRS_B=\frac{MU_{x_B}}{MU_{y_B}}=\frac{9y_B}{x_B}

Abychom získali vzorec kontrakční křivky, musí se nám míry substituce obou spotřebitelů rovnat. MRS_A=MRS_B

\frac{7y_A}{3x_A}=\frac{9y_B}{x_B}=>\frac{7y_A}{3x_A}=\frac{9\left(10-y_A\right)}{20-x_A}\                                                          

Zboží spotřebitele B jsme vyjádřili vztahem - celkový počet zboží - zboží spotřebitele A. Díky tomu jsem se zbavili dvou neznámých. +more Rovnici už stačí pouze upravit, tak abychom získali výslednou funkci kontrakční křivky.

y_A=\frac{27x_A}{2x_A+14}

Kontrakční křivka nám tedy charakterizuje všechny pareto-optimální body.

Je nutné podoktnout, že kontrakční křivku k nalezení pareto-optimálních bodů nemůžeme použít vždy. Použití záleží na typu funkce užitku. +more V tomto příkladě jsme se setkali s Cobb-Douglasovou funkcí užitku, stejně bychom postupovali například s funkcí dokonalé substituty nebo funkcí kvazilineárního užitku, naopak tento postup nelze použít, pokud užitek zboží bude vyjádřen funkcí perfektního komplementu, jelikož v tomto případě nebudou pareto-optimální body reprezentovány křivkou, ale oblastí ve tvaru lichoběžníku.

Kritika a problémy

Paretovo optimum je často kritizováno za to, že nezajišťuje rovnoměrné rozdělení bohatství. Naopak může nastat situace, která vede ke zvýšení majetku bohatých a majetek chudých se nijak nezmění, dostáváme se sice do bodu, který je podle Pareta optimální, avšak došlo k prohloubení příjmové nerovnosti. +more Martin Feldstein, ekonom z Harvardovy univerzity a prezident Národního úřadu pro ekonomický výzkum, vysvětluje, že tento výsledek, může někomu připadat nespravedlivý. Takoví kritici často namítají: ‚‚Nemám méně hmotných statků, ale pociťuji bolest z života v nerovném světě".

* Paretovo optimum není spravedlivé. Přestavme si, že dva lidé na zemi najdou stodolarovou bankovku. +more Spravedlivé rozdělení by bylo, kdyby bankovku rozměnili a každý si vzal padesát dolarů. Dle Paretova optima by však bylo jakékoli rozdělení optimální, jelikož jakékoli rozdělení následující po tom prvotním by vedlo poškození jedné či druhé strany. [6] To je způsobené tím, že zde není žádné druhé zboží, které by určilo, které z nich je uživateli více či méně preferováno.

* Paretovo optimum funguje pouze v dokonale konkurenčním trhu.

* Paretovo optimum nefunguje v ekonomice, ve které do obchodu zasahuje třetí strana jako například vláda. Jakýkoli zásah, který by zvýhodnil jednu stranu, by rovnováhu narušil a druhou stranu znevýhodnil.

Využití

V reálném světe je téměř nemožné vytvořit situaci, která by byla paretovsky optimální. Paretův koncept například nedokáže porovnávat stavy, kde si jeden z účastníků pohoršil. +more Tento neduh se snaží vyřešit Kaldorova-Hicksova efektivnost, která tvrdí, že jakákoli změna je optimální, pokud nová zlepšení převáží způsobená zhoršení. Dalšími sociálně efektivními kritérii jsou například Buchananovo jednomyslené kritérium nebo Coasův teorém. Všechna tato kritéria do jisté míry uvolňují přísné podmínky Paretovo optima v pragmatickém zájmu politiky a rozhodování v reálném světě. S Paretovým optimem se však můžeme setkat i v jiných odvětvích mimo ekonomii.

* V obchodním světě mohou manažeři továren provádět zlepšovací zkoušky, ve kterých přerozdělují pracovní zdroje, aby se například pokusili zvýšit produktivitu montážních dělníků, bez toho aniž by snižovali produktivitu balících a expedičních pracovníků.

* S pojmem Paretovo optimum se také setkáváme v teorii her. V některých strategických hrách jsou hráči nuceni spolupracovat tak, aby dosáhli co nejlepšího společného výsledku, nikoli výsledku jednoho konkrétního hráče. +more Příkladem je vězňovo dilema. * V biologii.

Paretův princip

Paretův princip spočívá v matematickém vzorci, který odráží nerovnoměrné rozložení bohatství a vyjadřuje skutečnost, že zhruba 20 % obyvatel vlastní 80 % bohatství, a zbývajících 80 % obyvatel se dělí o 20 % bohatství. Toto tvrzení bylo dále rozpracováno následovníky a dnes je všeobecně uznávaným principem měření efektivity. +more Pro tyto účely by toto pravidlo mohlo být shrnuto do definice, že 80 % výsledného zisku je tvořeno pouze 20 % činností, či že 80 % zisku přináší pouhých 20 % zákazníků, atd. Problémem a zároveň hlavním úkolem je určit, které činnosti spadají právě do těchto 20 %. Podle Pareta by se podnik měl soustředit právě na ty činnosti a nezabývat se tolik činnostmi méně důležitými.

Je však důležité si uvědomit, že hlavní myšlenka paretova optima nesouvisí s rozdělením 80/20 a proto spolu tyto dva pojmy souvisejí jen velmi úzce.

Paretův diagram

Paretův diagram Paretův diagram slouží pro kontrolu kvality a následné odhalení nejvýznamnějších faktorů, které představují nejčastěji se vyskytující zdroje poruch či jiných faktorů snižujících kvalitu. +more Často pak odhaluje skryté faktory snižování kvality.

Paretův diagram je možné vytvářet pomocí základních tabulkových procesorů jako je Microsoft Excel či OpenOffice. +moreorg Calc. V Paretově diagramu je spojen jak sloupcový, tak lineární graf. Jednotlivé hodnoty jsou v Paretově diagramu zobrazené pomoci sloupců a seřazeny sestupně. Lineární graf pak ukazuje celkový součet nebo procentuální zastoupení jednotlivých faktorů.

Reference

Externí odkazy

[url=http://www.znovu.cz/ex/pareto.htm]Pavel Exner : Teorie a praxe revoluce[/url]

Kategorie:Teorie her Kategorie:Mikroekonomie Kategorie:Optimalizace (matematika)