Peanova existenční věta

Peanova existenční věta, Peanova věta nebo Cauchyho-Peanova věta je stěžejní matematická věta, která při řešení obyčejných diferenciálních rovnic zaručuje existenci řešení určitých počátečních úloh. Je pojmenovaná po Giuseppe Peanovi a Augustinu Louisovi Cauchym.

Historie

Peano publikoval tuto větu poprvé v roce 1886 s nesprávným důkazem. V roce 1890 publikoval její správný důkaz pomocí metody postupných aproximací.

Věta

Nechť D je otevřená podmnožina R × R, :f\colon D \to \mathbb{R} je spojitá funkce a :y'(x) = f\left(x,y(x)\right) je spojitá explicitní obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu definovaná na D.

Pak každá počáteční úloha :y\left(x_0\right) = y_0 pro f s (x_0, y_0) \in D má lokální řešení :z\colon I \to \mathbb{R} kde I je okolí bodu x_0 v \mathbb{R}, takové, že z'(x) = f\left(x,z(x)\right) pro všechna x \in I .

Všimněte si, že řešení nemusí být jednoznačné: jedna a tatáž počáteční hodnota (x0,y0) může vést k mnoha různým řešením z.

Příbuzné věty

Peanovu věta můžeme porovnávat s jinou existenční větou ve stejném kontextu, s větou Picardovou-Lindelöfovou. Picardova-Lindelöfova věta má silnější předpoklády, ale i silnější tvrzení; vyžaduje Lipschitzovskou spojitost, zatímco Peanova věta vyžaduje pouze obyčejnou spojitost. +more Picardova-Lindelöfova věta ale zaručuje jak existenci tak jednoznačnost řešení, zatímco Peanova věta zaručuje pouze existenci řešení. Pro ilustraci uvažujme obyčejnou diferenciální rovnici.

:y' = \left\vert y\right\vert^{\frac{1}{2}} na intervalu .

Podle Peanovy věty má tato rovnice řešení, ale Picardovu-Lindelöfovu větu nelze použít, protože pravá strana rovnice není Lipschitzovsky spojitá v žádném okolí obsahujícím 0. Z toho můžeme vyvodit existenci řešení, ale ne jeho jednoznačnost. +more Ukazuje se, že tato obyčejná diferenciální rovnice má pro počáteční podmínku y(0)=0 dva typy řešení: buď y(x)=0 nebo y(x)=x^2/4. Přechod mezi y=0 a y=(x-C)^2/4 může nastat v libovolném C.

Carathéodoryho existenční věta je zobecněním Peanovy existenční věty se slabší podmínkou než je spojitost.

Poznámky

Reference

G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. +more Sci. Torino, 21 (1886) 437-445. [http://www. archive. org/stream/attidellaraccade21real#page/436/mode/2up/search/peano] * G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182-228. * W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331-345. * * * Murray, Francis J. ; Miller, Kenneth S. , Existence Theorems for Ordinary Differential Equations, Krieger, New York, Reprinted 1976, Původní vydání publikoval New York University Press, 1954.

Související články

Absolutně spojitá funkce * Obyčejná diferenciální rovnice * Cauchyho úloha * Spojitá funkce * Měřitelná funkce * Carathéodoryho existenční věta * Picardova-Lindelöfova věta

Kategorie:Obyčejné diferenciální rovnice Kategorie:Augustin Louis Cauchy