Poissonova závorka

Poissonova závorka označuje matematický výraz používaný v matematice a klasické mechanice (konkrétně v Hamiltonovské mechanice), kde se využívá k popisu časového vývoje dynamického systému. V matematice se Poissonova závorka používá k definici Poissonovy algebry (příkladem Poissonovy algebry je Poissonova varieta).

Poissonova závorka je pojmenována po Siméonu-Denisi Poissonovi.

Vyjádření v kanonických souřadnicích

Mějme ve fázovém prostoru s kanonickými souřadnicemi (q_i,p_j) dvě funkce f(p_i,q_i,t)\, a g(p_i,q_i,t)\,. Poissonova závorka má pak tvar :\{f,g\} = \{f,g\}_{p,q} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]. +more .

Lze dokázat, že hodnota Poissonovy závorky \{f,g\} je invariantní vůči kanonickým transformacím, tzn. :\{f,g\}_{p,q} = \{f,g\}_{P,Q} Není tedy nutno uvádět, ke kterým kanonickým souřadnicím se Poissonova závorka vztahuje.

Vlastnosti

Poissonovy závorky splňují následující vztahy :\{f,g\} = -\{g,f\} Poissonova závorka je tedy antikomutativní. Speciálním případem tohoto vztahu je :\{f,f\} = 0

Dále platí :\{(f_1+f_2),g\} = \{f_1,g\}+\{f_2,g\} :\{(f_1f_2),g\} = f_1\{f_2,g\} + f_2\{f_1,g\}

Platí také tzv. Jacobiho identita :\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0

Pro časovou derivaci Poissonovy závorky platí :\frac{\partial}{\partial t}\{f,g\} = \left\{\frac{\partial f}{\partial t},g\right\} + \left\{f,\frac{\partial g}{\partial t}\right\}

Fyzikální aplikace

Rovnice pohybu

S využitím Hamiltonových kanonických rovnic lze pro totální časovou derivaci funkce f psát :\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial f}{\partial p}\frac{\partial H}{\partial q} = \frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}, Kde H je Hamiltonova funkce. Funkce f je tedy integrálem pohybových rovnic tehdy, pokud platí :\frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\} = 0

V případě, že f nezávisí explicitně na čase, zjednoduší se předchozí rovnice na tvar :\{f,H\} = 0

Zvolíme-li za funkci f Hamiltonovu funkci H, pak podle bude platit :\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial t} Podle tohoto vztahu se tedy Hamiltonova funkce zachovává tehdy, když nezávisí explicitně na čase.

Platí, že jsou-li funkce f, g integrály pohybových rovnic, je integrálem pohybových rovnic také Poissonova závorka \{f,g\}.

Fundamentální Poissonova závorka

Důležitými Poissonovými závorkami jsou takové závorky, v nichž roli f a g hrají souřadnice a hybnosti. Někdy se také hovoří o fundamentální Poissonově závorce.

Takové Poissonovy závorky lze pak vyjádřit vztahy :\{Q_i,P_j\} = \delta_{ij} :\{Q_i,Q_j\} = 0 :\{P_i,P_j\} = 0 kde \delta_{ij} je Kroneckerovo delta.

Související články

Lagrangeova závorka * Diracova notace * Komutátor

Kategorie:Teoretická mechanika Kategorie:Matematické zápisy