Polospojitost

Přesněji polospojitost shora a polospojitost zdola jsou pojmy používané v matematické analýze. Jsou to vlastnosti reálných funkcí, které jsou slabší než spojitost, nicméně dány dohromady již spojitost implikují. Každá z nich je tedy sama o sobě jen „půl spojitosti“. Zhruba řečeno reálná funkce f je shora polospojitá v bodě x, pokud pro body y blízké bodu x není f(y) o moc větší než f(x). Funkce f je zdola polospojitá, když v předchozím místo větší řekneme menší.

Přesná definice

Shora polospojitá funkce.

Polospojitost shora

Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je shora polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že f(y) kdykoliv y \in U.

:Ekvivalentně můžeme říci, že f je shora polospojitá v x, pokud \limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x).

* Funkce f je shora polospojitá v X , jestliže je shora polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru \{x \in X: f(x) (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Polospojitost zdola

Zdola polospojitá funkce. +more * Funkce f z topologického prostoru X do reálných čísel je zdola polospojitá v bodě x z X, pokud pro každé ε>0 existuje okolí U bodu x, že f(y)>f(x)-\varepsilon kdykoliv y \in U.

:Ekvivalentně můžeme říci, že f je zdola polospojitá v x, pokud \liminf_{y \to x} f(y) \geq f(x).

* Funkce f je zdola polospojitá v X , jestliže je zdola polospojitá v každém bodě prostoru X. Je to právě tehdy, když jsou všechny množiny tvaru \{x \in X: f(x)>a\} (kde a je nějaké reálné číslo) otevřené.

Vlastnosti

\limsup_{y \to x} f(y) \leq f(x) \leq \liminf_{y \to x} f(y) ukazuje, že pokud je f v x polospojitá shora i zdola, je již v x spojitá a (samozřejmě) i obráceně.

* Funkce f, která je shora polospojitá na kompaktním prostoru X, je již nutně shora omezená na X a na X má maximum. Analogicky, zdola polospojitá funkce na kompaktu je zdola omezená a má minimum.

* součet

* Protože \{\sup_{f\in \mathcal{F}}f>a\}=\bigcup_{f\in \mathcal{F}}\{f>a\}, je supremum libovolného systému zdola polospojitých funkcí \mathcal{F} opět zdola polospojité. Totéž platí, zaměníme-li slůvko zdola za shora a supremum za infimum.

* Naopak supremum shora polospojitých (nebo dokonce spojitých) funkcí nemusí být shora polospojité, jak ukazuje příklad \mathcal{F}=\{\arctan(n\cdot):n \in \mathbb{N}\}.

Mnemotechnika

Je zajímavé, že naprosté většině lidí činí problémy zapamatovat si, která polospojitost je která.

Příklady

Charakteristická funkce otevřené množiny je zdola polospojitá. * Charakteristická funkce uzavřené množiny je shora polospojitá. +more * Norma na Banachově prostoru X je slabě polospojitá zdola (tedy zdola polospojitá na topologickém prostoru (X,w)). Je-li dimenze X nekonečná, norma nemůže být slabě polospojitá shora, tedy ani slabě spojitá.

Související články

Spojitá funkce

Externí odkazy

Kategorie:Matematická analýza