Cesko.wiki Potenciálová bariéra
Author
Albert FloresPotenciálová bariéra je ve fyzice takové rozložení potenciálu, že jeho hodnota je v určité (omezené) oblasti nenulová, přičemž se předpokládá, že je (aspoň přibližně) konstantní, konečná a kladná, zatímco mimo tuto oblast je hodnota potenciálu nulová.
V jednorozměrném případě je možné potenciálovou bariéru vyjádřit potenciálem :V = \left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{ pro }xa \\ V_0 & \mbox{ pro }0
Potenciálová bariéra umožňuje v kvantové mechanice popsat základní vlastní vlastnosti kvantového tunelování.
Obdobným případem jako potenciálová bariéra je potenciálová jáma, kde je V_0.
Klasická mechanika
V klasické mechanice je pohyb částic povolený pouze v oblasti, kde je energie E částice menší než hodnota potenciálu.
Pokud se tedy částice s E pohybuje směrem k potenciálové bariéře, potom se může pohybovat pouze mimo oblast 0. Do oblasti 0 taková částice nemůže vstoupit. +more V klasické mechanice se tedy částice nacházející se v oblasti x nemůže dostat do oblasti x>a a naopak. Potenciálová bariéra je pro takové částice nepropustnou stěnou, která odděluje obě oblasti x a x>a.
Částice s E>V_0 se může pohybovat i v oblasti 0 a může tedy přes potenciálovou bariéru procházet. Tato klasická částice pohybující se směrem k potenciálové bariéře přes tuto bariéru vždy projde, tzn. +more nikdy nedojde k jejímu odrazu. K odrazu částice od bariéry dochází pouze v případě E.
Kvantová mechanika
V kvantové mechanice se vlastnosti částice určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.
Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast x , oblast 0 a pro oblast x > a. V bodech x = 0 a x=a je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.
Schrödingerovy rovnice tedy mají tvar :\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}^2\psi_I}{\mathrm{d}x^2} + \frac{2mE}{\hbar^2}\psi_I = 0 & \mbox{ pre } xa \end{matrix}
Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice E je větší, anebo menší než výška potenciálové bariéry V_0. Výslednou vlnovou funkci je možné rozdělit na několik částí. +more Především na dopadající vlnu, která souvisí s volnou částicí pohybující se směrem k potenciálové bariéře ze záporného nekonečna (tedy v oblasti x). Dále můžeme uvažovat, že vlna se po dopadu částečně odrazí a částečně bude procházet do oblasti 0. V této oblasti postupuje vlna dále k bodu x=a, kde prochází druhým potenciálovým skokem, od kterého se opět částečně odráží a částečně projde do oblasti x>a. V oblasti x \psi_I popsaná superpozicí dopadající vlny pohybující se ve směru +x a odražené vlny pohybující se ve směru -x. Podobně v oblasti 0 je možné výslednou vlnu \psi_{II} popsat jako superpozici vln z obou směrů, zatímco v oblasti x>a je možné najít pouze prošlou vlnu \psi_{III} pohybující se ve směru +x.
Případ E>V0
Když zavedeme konstanty :k_I^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} :k_{II}^2 = \frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2} potom je možné obecné řešení vyjádřit ve tvaru :\psi_I = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix} :\psi_{II} = C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}x} + D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}x} :\psi_{III} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + G\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix} Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient u členu popisujícího v oblasti x>a pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. G=0.
Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech x=0 a x=a, tzn. na základě rovností \psi_I(0)=\psi_{II}(0), \psi_I^\prime(0)=\psi_{II}^\prime(0), \psi_{II}(a)=\psi_{III}(a) a \psi_{II}^\prime(a)=\psi_{III}^\prime(a), dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty A,B,C,D,F, tzn. +more :A+B = C+D :\mathrm{i}k_I(A-B) = \mathrm{i}k_{II}(C-D) :C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}a} + D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}a} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia} :\mathrm{i}k_{II}\left(C\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_{II}a} - D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_{II}a}\right) = \mathrm{i}k_I F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}.
Pravděpodobnost průchodu kvantové částice skrz bariéru je možné pro E>V_0 vyjádřit vztahem :T = {\left|\frac{F}{A}\right|}^2 = \frac{1}{1+\frac{1}{4}{\left(\sqrt{\frac{E}{V_0-E}}+\sqrt{\frac{V_0-E}{E}}\right)}^2 \sinh^2\sqrt{\frac{8m(V_0+E)}{\hbar^2}}a}
Pravděpodobnost odrazu od bariéry se rovná :R = {\left|\frac{B}{A}\right|}^2 = 1 - T
Pro libovolně široký a vysoký potenciálový val je tato pravděpodobnost nenulová. Tato pravděpodobnost však s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií V_-E velmi rychle klesá. +more Z tohoto důvodu je tedy při makroskopických procesech tento jev zanedbatelný a není potřebné ho uvažovat.
Případ E0
Když zavedeme konstanty :k_I^2 = \frac{2mE}{\hbar^2} :k_{II}^2 = \frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2} potom je obecné řešení možné vyjádřit ve tvaru :\psi_I = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix} :\psi_{II} = C\mathrm{e}^{-k_{II}x} + D\mathrm{e}^{k_{II}x} :\psi_{III} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ix} + G\mathrm{e}^{-\mathrm{i}k_Ix} Vzhledem k tomu, že podle předpokladu se částice pohybuje ze záporného nekonečna, bude koeficient členu popisujícího v oblasti x>a pohyb směrem k bariéře nulový, tzn. G=0.
Z podmínky spojitosti vlnové funkce a její první derivace v bodech x=0 a x=a, tzn. na základě rovnosti \psi_I(0)=\psi_{II}(0), \psi_I^\prime(0)=\psi_{II}^\prime(0), \psi_{II}(a)=\psi_{III}(a) a \psi_{II}^\prime(a)=\psi_{III}^\prime(a), dostaneme podmínky umožňující určit koeficienty A,B,C,D,F, tzn. +more :A+B = C+D :\mathrm{i}k_I(A-B) = -k_{II}(C-D) :C\mathrm{e}^{-k_{II}a} + D\mathrm{e}^{k_{II}a} = F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia} :-k_{II}\left(C\mathrm{e}^{-k_{II}a} - D\mathrm{e}^{k_{II}a}\right) = \mathrm{i}k_I F\mathrm{e}^{\mathrm{i}k_Ia}.
Pravděpodobnost průchodu částice bariérou je možné vyjádřit jako :T = = \frac{1}{1+\frac{V_0^2\sinh^2(k_{II} a)}{4E(V_0-E)}} Částice dopadající na potenciálový val se tedy podle kvantové mechaniky nemusí vždy odrazit, ale může bariérou s určitou pravděpodobností projít. Průchod částice bariérou je čistě kvantový jev, se kterým se v klasické mechanice nesetkáme. +more Tento jev se označuje jako tunelový jev anebo kvantové tunelování.