Cesko.wiki Ruffiniho pravidlo
Author
Albert FloresV lineární algebře Ruffiniho pravidlo dovoluje dělit jednoduchým způsobem jakýkoliv polynom polynomem prvního řádu ve formě (x-a). Pravidlo popsal italský matematik Paolo Ruffini v roce 1809.
Algoritmus
Ruffiniho pravidlo stanovuje metodu dělení polynomu : P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 polynomem : A(x)=x-r pro dosažení vysledku : Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0 a zbytek R, což je konstanta, případně nula.
Algoritmus není nic jiného než dělení polynomu P(x) lomeno A(x), ovšem zapsáno ve zjednodušené formě.
Pro dělení P(x) lomeno A(x) postupujeme takto: # Vezmeme koeficienty P(x) a zapíšeme je do prvního řádku v pořadí podle mohutnosti x. Do druhého řádku před svislou čáru zapíšeme r (konstanta polynomu A(x)):
\begin{array}{c|c c c c|c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \end{array}
# Zkopírujeme koeficient (an) dolů pod čáru:
\begin{array}{c|c c c c|c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & & & & \\ \hline & a_n & & & & \\ & =b_{n-1} & & & & \end{array}
# Vynásobíme nejpravější číslo z těch, co jsou pod čarou, krát r a výsledek zapíšeme do řádku nad čarou o jednu pozici vpravo:
\begin{array}{c|c c c c|c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & b_{n-1} \cdot r & & & \\ \hline & a_n & & & & \\ & =b_{n-1} & & & & \end{array}
# Sečteme tuto hodnotu s hodnotou nad ní a výsledek zapíšeme pod čáru:
\begin{array}{c|c c c c|c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\ r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\ \hline & a_n & b_{n-1}\cdot r+a_{n-1} & & & \\ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & & & \end{array}
# Opakujeme operaci dokud nedojdeme na konec tabulky
\begin{array}{c|c c c c|c} & a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0 \\ r & & b_{n-1}\cdot r & \dots & b_1\cdot r & b_0 \cdot r \\ \hline & a_n & b_{n-1} \cdot r+a_{n-1} & \dots & b_1 \cdot r+a_1 & a_0+b_0 \cdot r \\ & =b_{n-1} & =b_{n-2} & \dots & =b_0 & =R \\ \end{array}
Hodnoty : b_{n-1}, b_{n-2}, \dots, b_0 jsou koeficienty výsledky Q(x), jehož řád je o jedno menší než řád P(x). R je zbytek po dělení a je to konstanta (není to funkce x).
Příklady
Dělení polynomem (x − r)
Mějme : \,P(x)=2x^3-5x^2-x+6 : \,A(x)=x+1 Chceme vydělit P(x) lomeno A(x) s použitím Ruffiniho pravidla. První problém je v tom, že A(x) není ve formě (x − r), ale (x + r). +more To ovšem není vážný problém, stačí zapsat A(x) jako : A(x)=x+1=x-(-1) Jdeme na to: # Zapíšeme koeficienty P(x) a r:.
\begin{array}{c| c c c |c} & +2 & -5 & -1 & +6 \\ -1 & & & & \\ \hline & & & & \\ \end{array}
# Zkopírujeme první koeficient dolů:
\begin{array}{c| c c c |c} & +2 & -5 & -1 & +6 \\ -1 & & & & \\ \hline & +2 & & & \\ \end{array}
# Vynásobíme nejpravější číslo pod čarou krát r a výsledek zapíšeme do následující pozice nad čarou:
\begin{array}{c| c c c |c} & +2 & -5 & -1 & +6 \\ -1 & & -2 & & \\ \hline & +2 & & & \\ \end{array}
# Sečteme hodnoty ve druhém sloupci, výsledek zapíšeme pod čáru:
\begin{array}{c| c c c |c} & +2 & -5 & -1 & +6 \\ -1 & & -2 & & \\ \hline & +2 & -7 & & \\ \end{array}
# Opakujeme body 3 a 4 dokud nedojdeme na konec tabulky:
\begin{array}{c| c c c |c} & +2 & -5 & -1 & +6 \\ -1 & & -2 & 7 & -6 \\ \hline & +2 & -7 & +6 & 0 \\ \end{array}
Dostali jsme tedy výsledek, pro který platí: : P(x)=A(x) \cdot Q(x)+R kde : Q(x) = 2x^2-7x+6 : R=0.
Dělení polynomem (ax − k)
Aplikací jednoduché transformace můžeme použít Ruffiniho pravidlo i pro polynomy ve tvaru A(x)=ax-k. : P(x)=(ax -k) \cdot Q(x) + R(x) Bude stačit vydělit všechno koeficientem a, který je vždy různý od nuly (jinak by to nebyl polynom). +more : \frac{P(x)}{a}=\frac{(ax -k) \cdot Q(x)}{a} + \frac{R(x)}{a} Nechť P(x)/a = P'(x) a R(x)/a = R'(x), dostaneme: : P'(x)=(x -\frac{k}{a}) \cdot Q(x) + R'(x) Takže Q(x) je též výsledek dělení P'(x) lomeno (x-k/a), který se vyřeší výše uvedeným algoritmem. Abychom dostali zbytek R(x) bude stačit vynásobit zbytek který jsme dostali R'(x) krát a.