Seznam základních limit

Toto je seznam limit pro základní funkce. Všiměte si, že a a b jsou konstanty vzhledem k x.

Limity základních funkcí

: \text{Pokud }\lim_{x \to c} f(x) = L_1 \in \R\text{ a }\lim_{x \to c} g(x) = L_2\in \R \text{ pak:}

:: \lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2

:: \lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2

:: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}, \qquad \text{ když } L_2 \ne 0

:: \lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n, \qquad \text{ pokud je }n \text{ z množiny Z}^+

:: \lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n}, \qquad \text{ pokud }n \text{ je kladné liché, nebo pokud je sudé a zároveň } L_1 > 0

: \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \qquad \text{ pokud je } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ nebo } \pm\infty (L'Hospitalovo pravidlo)

Limity hlavních funkcí

: \lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)

: \lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)

: \lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)

Speciální limity

: \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk}

: \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e

: \lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}

: \lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k

: \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e

: \lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi

: \lim_{x \to 0} \left( \frac{a^x - 1}{x} \right) = \ln{a}, \qquad \forall~a > 0

Základní funkce

: \lim_{x \to c} a = a

: \lim_{x \to c} x = c

: \lim_{x \to c} ax + b = ac + b

: \lim_{x \to c} x^r = c^r \qquad \mbox{ Pokud je } r \mbox{ kladné celé číslo }

: \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty

: \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = \begin{cases} -\infty, & \text{pokud je } r \text{ liché} \\ +\infty, & \text{pokud je } r \text{ sudé}\end{cases}

Logaritmické a exponenciální funkce

: \lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1

nebo

: \lim_{y\to0}\frac{\ln(y+1)}{y}=1

: \mbox{Když } a > 1: \,

:: \lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty

:: \lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty

:: \lim_{x \to -\infty} a^x = 0

: \mbox{Když } a

:: \lim_{x \to -\infty} a^x = \infty

Trigonometrické funkce

: \lim_{x \to a} \sin x = \sin a

: \lim_{x \to a} \cos x = \cos a

Pokud x je vyjádřeno v radiánech: : \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

: \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0

: \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

: \lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad \text{Pro každé celé } n

: \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a

: \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}

Poblíž nekonečna

: \lim_{x\to\infty}N/x=0 \text{ pro všechna reálná }N : \lim_{x\to\infty}x/N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \text{nedefinováno}, & N = 0 \\ -\infty, & N : \lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N : \lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & 0 : \lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \text{ pro každé } N > 1 : \lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \text{nedefinováno v R}, & N : \lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}= \infty \text{ pro každé } N > 0 : \lim_{x\to\infty}\log x=\infty : \lim_{x\to0^+}\log x=-\infty

Kategorie:Limity (matematika) Kategorie:Matematické seznamy Kategorie:Matematická analýza