Sloupcový vektor

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Sloupcový vektor nebo sloupcová matice v lineární algebře je matice typu m\times 1, tj. matice sestávající z jediného sloupce o m prvcích:

:\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}

Transpozicí sloupcového vektoru je řádkový vektor a naopak:

:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix}^{\mathrm T} = (x_1,x_2,\ldots,x_m)

Množina všech sloupcových vektorů s daným počtem prvků vytváří vektorový prostor, který je duálním prostorem k množině všech řádkových vektorů se stejným počtem prvků.

Zápis

V anglicky psané literatuře se pro matice a vektory obvykle používají hranaté závorky:

:\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}

Aby bylo možné zapisovat sloupcové vektory do stejného řádku jako zbytek vzorce, zapisují se někdy jako řádkové vektory, na které je aplikována operace transpozice.

:\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{pmatrix}^{\mathrm T} Pro další zjednodušení někteří autoři používají konvenci pro zápis jak sloupcových tak řádkových vektorů jako řádky, ale prvky řádkových vektorů oddělují mezerami a sloupcových středníky (viz alternativní zápis v tabulce níže).

	Řádkový vektor	Sloupcový vektor
Standardní maticový zápis	center\| (x_1,x_2,\ldots,x_m)	center\| \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \text{ nebo } (x_1,x_2,\ldots,x_m)^{\mathrm T}
Alternativní zápis	center\| (x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m)	center\| \begin{pmatrix} x_1; x_2; \dots; x_m \end{pmatrix}

Operace

Násobení matic spočívá ve znásobení každého řádkového vektoru jedné matice každým sloupcovým vektorem druhé matice.

* Skalární součin dvou vektorů \boldsymbol{x} a \boldsymbol{y} je ekvivalentní s násobením řádkového vektoru \boldsymbol{x} sloupcovým vektorem \boldsymbol{y}:

:\langle \boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle = \boldsymbol{x}^\mathrm {T} \boldsymbol{y} = (x_1, x_2, x_3) \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}