Souvislá množina

Technology

12 hours ago

Author

Souvislá (A) a nesouvislá (B) množina Souvislá množina je v topologii množina, kterou nelze rozdělit na dvě disjunktní, neprázdné a otevřené podmnožiny.

Definice

Souvislá množina

Množina \mathbf{X} \subset \mathbf{M}, \mathbf{X} \ne \emptyset topologického či metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) se nazývá souvislá, pokud kdykoli \mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M} jsou množiny otevřené v M takové, že * \mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B} a * \mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset. Pak buď \mathbf{A} = \emptyset nebo \mathbf{B} = \emptyset

Ekvivalentní definice

Množina \mathbf{X} \subset \mathbf{M}, \mathbf{X} \ne \emptyset topologického či metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) se nazývá souvislá, pokud kdykoli \mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M} jsou množiny uzavřené v M takové, že ** \mathbf{X} = \mathbf{A} \cup \mathbf{B} a ** \mathbf{A} \cap \mathbf{B} = \emptyset. Pak buď \mathbf{A} = \emptyset nebo \mathbf{B} = \emptyset * Je-li \mathbf{f}: \mathbf{X} \rightarrow [0,1] spojité zobrazení a \{0,1\} \subset \mathbf{f}[\mathbf{X}], pak \mathbf{f}[\mathbf{X}] = [0,1].

Souvislý prostor

Topologický prostor je souvislý, je-li svou vlastní souvislou podmnožinou.

Topologický prostor X je souvislý právě tehdy, když jediné podmnožiny v X, které jsou současně otevřené i uzavřené, jsou X a \emptyset. V opačném případě bývá prostor X označován jako nesouvislý.