Cesko.wiki Steinerova věta
Author
Albert FloresSteinerova věta umožňuje vypočítat moment setrvačnosti tělesa rotujícího kolem osy, která neprochází jeho těžištěm. Je tak například možné vypočítat moment setrvačnosti tělesa složeného z několika základních těles, stačí znát momenty setrvačnosti jednotlivých těles a vzdálenost jejich těžišť od těžiště složeného tělesa. Na její formulaci se podílel i nizozemský fyzik Christiaan Huygens, proto někdy bývá nazývána "Huygens-Steinerovou větou".
Základní znění
"Moment setrvačnosti k mimotěžišťní ose je roven součtu momentu k těžišťní ose a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti obou rovnoběžných os."
:
Základní vzorec
Za předpokladu, že J_T představuje moment setrvačnosti tělesa k ose procházející těžištěm, m hmotnost tělesa a r_T vzdálenost osy rotace od těžiště, potom lze moment setrvačnosti J k dané ose vypočítat následovně.
:J = J_T + m \, r_T^2
Tenzorový počet
Pro tenzor setrvačnosti lze Steinerovu větu formulovat následovně (E je jednotková matice, rT je vektor se složkami (xT, yT, zT) popisující vzdálenost osy rotace od těžiště, symbol \otimes značí tenzorový součin):
:\mathbf J = \mathbf J_T + m \left( \mathbf E \mathbf r_T^2 - \mathbf r_T \otimes \mathbf r_T \right) = \mathbf J_T + m \left[ \begin{matrix} y_T^2+z_T^2 & -x_T y_T & -x_T z_T \\ -x_T y_T & x_T^2+z_T^2 & -y_T z_T \\ -x_T z_T & -y_T z_T & x_T^2+y_T^2 \end{matrix} \right].
Důsledek
Ze všech rovnoběžných os otáčení má těleso nejmenší moment setrvačnosti vzhledem k té, která prochází jeho těžištěm.