Symplektická varieta

Symplektická varieta je pojem z matematiky, přesněji z diferenciální geometrie. Formalizuje v rámci matematiky fyzikální pojem fázového prostoru.

Definice

Dvojici (M,\omega) nazveme symplektická varieta, pokud M je (hladká) varieta a \omega je tzv. symplektická diferenciální forma na M, tj. +more pro každé m \in M je (T_m M, \omega_m) symplektický vektorový prostor a navíc d \omega =0, tj. \omega je uzavřená.

Poznámka

T_mM je tzv. tečný prostor k M v bodě m \in M a \omega_m je vyčíslení diferenciální 2-formy \omega v bodě m, tj. +more bilineární forma. Operátor d je tzv. de Rhamův diferenciál či vnější diferenciál.

Příklady

1) Kotečný bandl libovolné hladké variety konečné dimenze vybavený diferenciálem tzv. Liouvilleovy formy je symplektická varieta. +more Speciálně symplektický vektorový prostor je symplektická varieta. Kotečné bandly jsou matematické modely fázových prostorů.

2) Torus T^2 spolu s formou d \phi \wedge d\theta, kde \phi a \theta jsou tzv. poledníkové a rovnoběžníkové souřadnice na toru, je symplektická varieta. +more Analogicky pro tory vyšších dimenzí. Obdobně libovolný torus sudé dimenze je symplektickou varietou. Eliptická křivka nad tělesem komplexních čísel, protože je z hlediska diferenciální geometrie torem, je rovněž symplektická.

3) Sféra S^2 spolu s formou d\theta \wedge d\phi, kde \phi a \theta jsou std. souřadnice na sféře, je symplektická varieta. +more Jde o jedinou sféru, na níž existuje symplektická forma, jak plyne z tvrzení níže a z toho, že i-tá (ko)homologická grupa sfér S^n je až na první a n-tou nula.

4) Každá Kahlerova varieta je symplektická. Existují ale symplektické variety, které nejsou Kahlerovy.

Tvrzení

1. Pokud (M, \omega) je kompaktní symplektická varieta, potom \omega není exaktní, tj. +more speciálně druhá kohomologická grupa H^2(M,\mathbb{R}) \neq 0.

2. Darbouxova věta: Pokud (M, \omega) je symplektická varieta dimenze 2n, pak pro každé m \in M existuje mapa (U, \phi) (m \in U, \phi: U \to \mathbb{R}^{2n}), že (\phi^{-1})^*\omega = \sum_{i=1}^{2l}dp^i\wedge dq_i, kde p^i, q_i, i=1,\ldots, n jsou standardní souřadnice na \mathbb{R}^{2n}\simeq \mathbb{R}^n \oplus \mathbb{R}^n.

Darbouxova věta říká, že symplektická varieta nemá žádné lokální diferenciálně geometrické invarianty, tj. lokálně vypadá symplektická forma vždy stejně. +more Globální alespoň částečné invarianty existují, viz předchozí větu.

Aplikace

Teorie symplektických variet nabízí matematický model Hamiltonovy mechaniky. Je podstatnou složkou tzv. +more zrcadlité symetrie pocházející z teorie strun.

Postupuje se takto. Nechť (M, \omega) je symplektická varieta a nechť H je hladká funkce na M (každá taková funkce se v klasické mechanice nazývá Hamiltonián). +more Vektorové pole X na M se nazývá Hamiltonovo vektorové pole pro Hamiltonovský systém, pokud \iota_X \omega =dH, kde \iota_X\omega je kontrakce tenzorového pole omega polem X. X_H Integrální křivky pole X jsou možnými pohyby mechanického systému s Hamiltoniánem H.

Poissonova závorka je \mathbb{R}-bilineární zobrazení \{,\}:\mathcal{C}^{\infty}(M) \times \mathcal{C}^{\infty}(M) \to \mathbb{R} definované \{f,g\}(m) = \omega_m(X_f,X_g),, f, g \in \mathcal{C}^{\infty}(M) a m\in M.

Z toho, že symplektická forma je uzavřená, plyne tzv. Jacobiho identita pro Poissonovu závorku \{\{f,g\},h\} + \{\{h,f\}, g\} + \{g, h\}, f\} =0.

Kategorie:Diferenciální geometrie