Trojúhelníková matice

Horní trujúhelníková matice může mít nenulové prvky pouze ve zvýrazněném trojúhelníku, tedy na hlavní diagonále (vyznačené tučně) a nad ní. Všechny prvky pod diagonálou jsou nulové. Trojúhelníková matice je v matematice speciální druh čtvercové matice. Horní trojúhelníková matice má všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule. Podobně dolní trojúhelníková matice má všechny prvky nad hlavní diagonálou nulové.

Maticové rovnice s trojúhelníkovými maticemi jsou snadněji řešitelné, a proto jsou trojúhelníkové matice důležité zejména v numerické matematice. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí LU rozkladu je založeno na rozkladu matice na součin dolní trojúhelníkové matice \boldsymbol{L} a horní trojúhelníkové matice \boldsymbol{U}. +more Regulární matice má LU rozklad, právě když má všechny vedoucí hlavní subdeterminanty nenulové.

Definice

Horní trojúhelníková matice řádu n je matice tvaru:

: \boldsymbol{U}=\begin{pmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} & \ldots & u_{1n} \\ 0 & u_{22} & u_{23} & \ldots & u_{2n} \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & u_{n-1,n} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & u_{nn} \end{pmatrix}

Formálně prvky horní trojúhelníkové matice splňují: u_{ij}=0 pro i>j.

Dolní trojúhelníková matice je matice tvaru:

: \boldsymbol{L}=\begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 & 0 & 0 \\ l_{31} & l_{32} & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ l_{n1} & l_{n2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{nn} \end{pmatrix}

Formálně prvky dolní trojúhelníkové matice splňují: l_{ij}=0 pro i.

Speciálním případem je diagonální matice, která je horní i dolní trojúhelníkovou maticí zároveň.

Horní trojúhelníkové matice se v literatuře obvykle značí \boldsymbol{U} z angl. upper, případně \boldsymbol{R} - right, zatímco pro dolní trojúhelníkové se používá symbol \boldsymbol{L} - lower, resp. +more left.

Striktně horní a striktně dolní trojúhelníkové matice

Hodnoty prvků na hlavní diagonále nejsou u trojúhelníkových matic nijak omezeny. Jsou-li všechny prvky na hlavní diagonále trojúhelníkové matice rovny nule, jde o striktně horní, resp. +more striktně dolní trojúhelníkovou matici. Striktně horní i striktně dolní trojúhelníkové matice patří mezi nilpotentní matice.

Ukázky

Matice

: \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

je horní trojúhelníková, zatímco

: \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 96 & 0 \\ 4 & 9 & 69 \\ \end{pmatrix}

je dolní trojúhelníková.

Matice

: \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -5 & 0 \\ \end{pmatrix}

je striktně dolní trojúhelníková.

Dopředná a zpětná substituce

Soustavy lineárních rovnic ve tvaru \boldsymbol{L}\boldsymbol{x} =\boldsymbol{b} a \boldsymbol{U}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b} jsou řešitelné dopřednou substitucí pro dolní trojúhelníkové matice s nenulovou diagonálou a analogicky zpětnou substitucí pro horní trojúhelníkové matice. Název odpovídá postupu, kdy pro dolní trojúhelníkové matice se z první rovnice soustavy nejprve určí x_1, to se pak dosadí do následující rovnice, aby bylo možné určit x_2, a tento postup se opakuje až pro x_n. +more U horní trojúhelníkové matici se postupuje obráceně, nejprve se z poslední rovnice soustavy určí x_n, to se pak dosadí do předchozí rovnice, z níž se určí x_{n-1}, atd. až se dojde k x_1.

Ani v jednom z uvedených postupů není třeba invertovat matici soustavy.

Dopředná substituce

Maticová rovnice \boldsymbol{L}\boldsymbol{x} =\boldsymbol{b} s dolní trojúhelníkovou maticí \boldsymbol{L} s nenulovými prvky na diagonále odpovídá následující soustavě lineárních rovnic:

: \begin{matrix} l_{11} x_1 & & & & & & & = & b_1 \\ l_{21} x_1 & + & l_{22} x_2 & & & & & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ l_{n1} x_1 & + & l_{n2} x_2 & + & \cdots & + & l_{nn} x_n & = & b_n \\ \end{matrix}

První rovnice l_{11} x_1 = b_1 obsahuje jedinou neznámou x_1, a tak z ní lze přímo určit první složku řešení x_1. Druhá rovnice se týká jen neznámých x_1 a x_2, a proto ji lze jednoznačně vyřešit, jakmile se do x_1 dosadí hodnota získaná z první rovnice. +more Obecně, j-tá rovnice obsahuje pouze neznámé x_1,\dots,x_j, a proto z ní lze určit x_j pomocí již dříve získaných hodnot neznámých x_1,\dots,x_{j-1}. Postupu odpovídají následující vzorce pro výpočet řešení:.

: \begin{align} x_1 &= \frac{b_1}{l_{11}}, \\ x_2 &= \frac{b_2 - l_{21} x_1}{l_{22}}, \dots \\ x_j &= \frac{b_j - \sum\limits_{i=1}^{j-1} l_{ji}x_i}{l_{jj}},\dots\\ x_n &= \frac{b_n - \sum\limits_{i=1}^{n-1} l_{ni}x_i}{l_{nn}}. \end{align}

Maticovou rovnici s horní trojúhelníkovou maticí \boldsymbol{U} lze vyřešit podobně, pouze v obráceném pořadí rovnic i neznámých.

Aplikace

Dopředná substituce se používá v ekonometrii ke konstrukci výnosové křivky.

Další vlastnosti

Matice je dolní trojúhelníková, právě když její transpozice je horní trojúhelníková matice. * Součin dvou trojúhelníkových matic stejného typu je trojúhelníková matice téhož typu. +more * Součin dvou striktně trojúhelníkových matic stejného typu je striktně trojúhelníková matice téhož typu. * Trojúhelníková matice s nenulovými prvky na diagonále je regulární a matice k ní inverzní je trojúhelníková matice stejného typu. * Pro trojúhelníkovou matici platí, že její determinant i permanent jsou rovny součinu prvků na hlavní diagonále. * Vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou prvky na hlavní diagonále. Počet výskytů vlastního čísla na diagonále je jeho algebraická násobnost, čili jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu p_{\boldsymbol{A}}(x)=\det(\boldsymbol{A}-x\mathbf{I}) matice \boldsymbol{A}. Jinými slovy, charakteristický polynom trojúhelníkové matice \boldsymbol{A} řádu n je roven ::p_{\boldsymbol{A}}(x) = (a_{11}-x)(a_{22}-x)\cdots(a_{nn}-x), :což je polynom stupně n, jehož kořeny jsou prvky na diagonále matice \boldsymbol{A} (včetně násobností). Uvedený vztah vyplývá ze skutečnosti, že \boldsymbol{A}-x\mathbf{I} je také trojúhelníková matice a tudíž její determinant \det(\boldsymbol{A}-x\mathbf{I}) je součinem prvků na její diagonále, což jsou právě a_{11}-x, a_{22}-x, \ldots, a_{nn}-x.

Algebraické vlastnosti

Množina všech horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou Lieovu algebru. Množina všech nilpotentních horních trojúhelníkových matic tvoří nilpotentní Lieovu algebru . +more * Množina všech regulárních horních trojúhelníkových matic tvoří řešitelnou grupu. Množina všech unipotentních horních trojúhelníkových matic, což jsou horní trojúhelníkové matice s 1 na diagonále, tvoří nilpotentní grupu. * Trojúhelníková matice řádu n může mít nejvýše \tfrac{n(n+1)}{2} nenulových prvků, což je také dimenze odpovídající Lieovy grupy, resp. algebraické grupy.

Stejné vlastnosti mají i dolní trojúhelníkové matice.

Aplikace

Pro své speciální vlastnosti se trojúhelníkové matice používají v různých oblastech matematiky, zejména v numerické matematice. V následujících tvrzeních jsou uvažovány matice nad tělesem komplexních čísel \C:

* Gaussova eliminace provedená na regulární matrici \boldsymbol A odpovídá výpočtu vhodné permutační matice \boldsymbol P a LU rozkladu \boldsymbol{PA}=\boldsymbol{LU}, kde \boldsymbol L je dolní trojúhelníková matice s 1 na diagonále a \boldsymbol U je horní trojúhelníková. * QR rozklad \boldsymbol A=\boldsymbol{QR} matice \boldsymbol A na součin unitární matice \boldsymbol Q a horní trojúhelníkové matrici \boldsymbol R lze vypočítat mimo jiné pomocí Householderových transformací, Givensových rotací nebo Gramovy-Schmidtovy ortogonalizace . +more * V Jordanově normální formě je matice podobnostně převedena na téměř diagonální trojúhelníkový tvar. * Při Schurově rozkladu je daná matice vyjádřena coby matice unitárně podobná vhodné trojúhelníkové matici. Schurův rozklad lze získat např. pomocí QR algoritmu.

Odkazy

Reference

Literatura

Kategorie:Matice