Cesko.wiki Tupperův vzorec
Author
Albert Flores
Vzorec
Vzorec byl poprvé publikován v příspěvku na konferenci SIGGRAPH (Special Interest Group on GRAPHics and Interactive Techniques) 2001, který se zabýval softwarem [url=http://www. peda. +morecom/grafeq/]GrafEq[/url] pro vizualizaci matematických funkcí, nerovností, atp.
Tupperův vzorec je nerovnost:
: {1\over 2}
kde \lfloor \cdot \rfloor značí celou část čísla a mod značí zbytek po dělení.
Uvažujme interval roviny (x,y) \in \langle 0,106) \times \langle k,k + 17), kde konstanta k je rovna pětisetčtyřiačtyřicetimístnému číslu:
48584506361897134235820959624942020445814005879832445494830930850619 34704708809928450644769865524364849997247024915119110411605739177407 85691975432657185544205721044573588368182982375413963433822519945219 16512843483329051311931999535024137587652392648746133949068701305622 95813219481113685339535565290850023875092856892694555974281546386510 73004910672305893358605254409666435126534936364395712556569593681518 43348576052669401612512669514215505395545191537854575257565907405401 57929001765967965480064427829131488548259914721248506352686630476300
Množina bodů splňující Tupperovu nerovnost je na následujícím obrázku znázorněna modrou barvou:
Soubor:Tupper's self referential formula plot.png
(Osy na obrázku jsou popsány hodnotami vycházejícími z původního Tupperova článku, kde je použita jiná konstanta k. Tato původní Tupperova konstanta vytvoří obrázek převrácený vodorovně i svisle. +more).
Vysvětlení
Bližším ohledáním vzorce snadno zjistíme, že exponent - 17 \lfloor x \rfloor - \mathrm{mod}(\lfloor y\rfloor, 17) nabývá pouze celočíselných hodnot 0,-1,-2,\ldots,-17 \cdot 106+1. Každé z těchto hodnot přitom nabývá pouze v jediném podintervalu. +more Hodnoty 0 nabývá exponent v levém spodním rohu obrázku, hodnoty 1 v intervalu bezprostředně nad ním, a tak dále. Tedy, pixely v prvním sloupci obrázku odpovídají hodnotám exponentu 0,\ldots,-16. Nejmenší hodnoty -1801 = -17 \cdot 106+1 exponent nabývá v pravém horním rohu obrázku.
Snadno ověříme, že číslo k je dělitelné číslem 17 beze zbytku, tedy
:\left\lfloor {y \over 17} \right\rfloor = {k \over 17}
pro všechna y\in\langle k,k+17). Pravá strana nerovnosti tak v principu převádí číslo k/17 do dvojkové soustavy, je tedy pro každou konkrétní dvojici (x,y) rovna buď 0 nebo 1.
Je zřejmé, že libovolný černobílý obrázek šířky w a výšky h pixelů, jde stejným způsobem zapsat jako binární číslo (po sloupcích; levý spodní pixel bude stát na pozici jednotek ve dvojkovém zápisu). Po převodu do desítkové soustavy a vynásobení číslem h bude představovat konstantu k. +more Tupperův vzorec (s číslem 17 zaměněným za číslo h a pozměněnými intervaly pro x a y) pak z konstanty k dekóduje původní obrázek.
Konkrétních příkladů jako je Tupperův vzorec tedy lze zkonstruovat libovolně mnoho.
Tupperův vzorec je často uváděn jako příklad autoreference, kterým ale v pravém slova smyslu není. Nejpodstatnější část vzorce zajišťující, že grafem nerovnosti je předpis nerovnosti samotné, je informace zakódovaná v konstantě k, která ovšem není předmětem autoreferenčního vztahu.
Reference
* Tupper, Jeff: „Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables“, https://web. archive. +moreorg/web/20120205073038/http://www. dgp. toronto. edu/people/mooncake/papers/SIGGRAPH2001_Tupper. pdf * Weisstein, Eric W. „Tupper's Self-Referential Formula“, From MathWorld-A Wolfram Web Resource, http://mathworld. wolfram. com/TuppersSelf-ReferentialFormula. html * Bailey, D. H. ; Borwein, J. M. ; Calkin, N. J. ; Girgensohn, R. ; Luke, D. R. ; and Moll, V. H. Experimental Mathematics in Action. Natick, MA: A. K. Peters, p. 289, 2006. https://web. archive. org/web/20070202172917/http://crd. lbl. gov/~dhbailey/expmath/maa-course/hyper-ema. pdf * „Self-Answering Problems“, Math. Horizons 13, No. 4, 19, Apr. 2005 * Wagon, S. : Problem 14 in http://stanwagon. com/wagon/Misc/bestpuzzles. html.
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20120222031754/http://www. dgp. toronto. edu/people/mooncake/]Oficiální stránka Jeffa Tuppera[/url] * [url=https://web. archive. org/web/20111110191931/http://web. aanet. com. au/superseed/ajmcrae/TupperPlot/TupperPlot. html]TupperPlot[/url], implementace v JavaScriptu.