Cesko.wiki Variace (kombinatorika)
Author
Albert FloresVariace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice vytvořená z celkového počtu n prvků, přičemž při výběru záleží na pořadí jednotlivých prvků. Rozlišujeme variace s opakováním a bez opakování.
Variace bez opakování
Variace bez opakování je k-členná skupina utvořená z daných n prvků tak, že v nich záleží na pořadí a žádný z daných prvků se v ní neopakuje. * Počet k-členných variací z n prvků: V(k,n)=n(n-1)(n-2). +more(n-k+1) = \frac{n. }{(n-k). } pro k \leq n * například: 2členná variace ze 3 prvků a, b, c: (ab), (ba), (ac), (ca), (bc), (cb) = \frac{3. }{(3-2). }=6.
Variace s opakováním
Variace s opakováním je uspořádaná k-tice z n prvků sestavená tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýše k-krát. Opět záleží na pořadí. +more * Počet k-členných variací s opakováním z n prvků: V'(k,n) = n^k platí i pro k * například: 2členná variace s opakováním ze 3 prvků a, b, c: (aa), (ab), (ac), (ba), (bb), (bc), (ca), (cb), (cc) = 3^2= 9.
Příklady
Příklad 1
Kolik trojciferných čísel je možné sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, jestliže:
a) se v čísle každá cifra může vyskytovat nejvýše jednou :V(3,4)=\frac{4!}{(4-3)!}=4!=4.3.2=24
b) se v čísle cifry mohou opakovat :V'(3,4) = 4^3=64
Příklad 2
Kolik je možností pro obsazení 1., 2. a 3. místa v závodě s 20 účastníky? :V(3,20)=\frac{20!}{(20-3)!}=\frac{20!}{17!}=\frac{20.19.18.17!}{17!}=20.19.18=6840
Příklad 3
Posádka lodi potřebuje k dorozumívání vytvořit 50 různých signálů. Budou jim k tomu stačit 4 různobarevné praporky. +more * jednopraporkové signály: V(1,4)=4 * dvoupraporkové signály: V(2,4)=\frac{4. }{2. }=4. 3=12 * třípraporkové signály: V(3,4)=\frac{4. }{1. }=4. =4. 3. 2=24 * čtyřpraporkové signály: V(4,4)=P(4)=4. =24 :celkem lze vytvořit: 4+12+24+24=64 signálů.
:Na vytvoření 50 signálů budou 4 různobarevné praporky stačit.
Příklad 4
Kolika způsoby můžete nastavit šestimístný číselný kód trezoru? :V'(6,10) = 10^6=1 000 000