Věta o kritické přímce

Věta o kritické přímce je matematická věta tvrdící, že jisté, nenulové procento netriviálních nul Riemannovy funkce zeta leží na kritické přímce Re(s) = 1/2.

Základní pojmy

Riemannova funkce zeta vznikne holomorfním rozšířením funkce \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} na celou komplexní rovinu s výjimkou bodu s = 1. Takto definovaná funkce nabývá nulové hodnoty v každém záporném sudém čísle. +more Tato čísla se nazývají triviální nuly Riemannovy zeta-funkce. Ostatní body, v nichž je funkce nulová, se nazývají netriviální nuly. Podle Riemannovy hypotézy mají všechny netriviální nuly funkce zeta reálnou část rovnou 1/2, tedy leží na přímce {s | Re(s) = 1/2} v komplexní rovině. Tato přímka se nazývá kritická přímka.

Historie

První verzi věty o kritické přímce (pro jisté malé procento) dokázal Atle Selberg, čímž značně vylepšil do té doby nejsilnější známý výsledek Hardyho a Littlewooda, podle kterých leží na kritické přímce nekonečně mnoho netriviálních nul.

Norman Levinson vylepšil odhad ve větě na jednu třetinu nul, a Conrey na dvě pětiny.

Vztah k Riemannově hypotéze

Větu o kritické přímce lze považovat za částečné (slabé) řešení Riemannovy hypotézy. Důsledkem Riemannovy hypotézy je, že skutečná hodnota se rovná 1. +more Ovšem opačná implikace neplatí - tvrzení, že skoro všechny netriviální nuly leží na kritické přímce, pro důkaz Riemannovy hypotézy nestačí.

Odkazy

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Komplexní analýza Kategorie:Teorie čísel

Zeros on the critical line