Cesko.wiki Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence
Author
Albert FloresWeierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je jedním z hlavních kritérií, která se používají pro studium konvergence posloupnosti funkcí. Kritérium bylo formulováno matematikem Karl Weierstrassem a je pojmenováno po něm. Podle Weierstrassova kritéria posloupnost funkcí konverguje stejnoměrně na daném intervalu, pokud existuje taková posloupnost čísel, která konverguje a jejíž absolutní hodnota je menší nebo rovna absolutní hodnotě každé funkce posloupnosti, a to pro všechny body daného intervalu. Tato vlastnost je důležitá, protože stejnoměrná konvergence zaručuje, že limitní funkce je spojitá na daném intervalu. Weierstrassovo kritérium je také důležité pro důkaz různých vět o limitě funkce, jako je věta o derivaci limitem, věta o integraci limitem nebo Diniho věta. Weierstrassovo kritérium je základním nástrojem pro analýzu konvergence posloupnosti funkcí v matematické analýze a má široké využití v různých oborech matematiky, jako je teorie míry, funkcionální analýza, teorie distribucí a další.
Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence je v matematice kritérium pro určování, zda nekonečná řada funkcí konverguje stejnoměrně a absolutně. Používá se na řady, jejichž členy jsou funkce s reálnými nebo komplexními hodnotami, a je analogií srovnávacího kritéria pro určování konvergence řad reálných nebo komplexních čísel.
Tvrzení
Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence. Předpokládejme, že {fn} je posloupnost reálných nebo komplexních funkcí definovaných na množině A a že existuje posloupnost kladných čísel {Mn} taková, že :\forall n \geq 1, \forall x \in A: \ |f_n(x)|\leq M_n, :\sum_{n=1}^{\infty} M_n Pak řada :\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x) konverguje absolutně a stejnoměrně na A.
Poznámka: Výsledek se často používá v kombinaci s limitní větou pro stejnoměrnou konvergenci. Společně říkají, že pokud kromě výše uvedených podmínek je množina A topologickým prostorem a funkce fn jsou spojité na A, pak řada konverguje ke spojité funkci.
Zobecnění
Obecnější verze Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence platí, jestliže cílová množina funkcí {fn} je jakýkoli Banachův prostor, v tomto případě výraz :|f_n(x)|\leq M_n může být nahrazen výrazem :\|f_n(x)\|\leq M_n, kde \|\cdot\| je norma na Banachově prostoru. Pro příklad použití tohoto kritéria na Banachův prostor viz článek Fréchetova derivace.
Důkaz
Uvažujme posloupnost funkcí :S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}f_{k}(x)
Protože řada \sum_{n=1}^{\infty}M_{n} konverguje a pro každé , pak podle Cauchyova kritéria konvergence :\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall n>m>N : \sum_{k=m+1}^{n}M_{k} Pro zvolené platí : \forall x \in A : \forall n> m> N : \left|S_{n}(x)-S_{m}(x)\right|=\left|\sum_{k=m+1}^{n}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=m+1}^{n}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=m+1}^{n}M_{k}
Tedy posloupnost částečných součtů řady konverguje stejnoměrně. Z definice proto řada \sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x) konverguje stejnoměrně.
Pozn: Nerovnost (1) vyplývá z trojúhelníkové nerovnosti.
Odkazy
Reference
Související články
Stejnoměrná konvergence * Příklad Weierstrassova kritéria stejnoměrné konvergence * Karl Weierstrass
Literatura
Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Kritéria konvergence