Wienerův filtr

Wienerův filtr byl navržen tak, aby dokázal zpětně rekonstruovat obrázek, který byl poničen šumem nebo špatnou impulzní odezvou snímacího zařízení. Tato problematika je popsána v článku o rekonstrukci a předzpracování obrazu. Opět jde o to vyřešit tzv. radiometrický inverzní problém, tedy vyjádřit z následující rovnice proměnou u(x, y)\,, což je požadovaný obrázek ještě před deformací špatným fotoaparátem nebo šumem.

: z(x,y) = (u * h)(x, y) + n(x, y) \,

h(x, y) \, značí impulzní odezvu snímacího zařízení a n(x,y) \, přidaný šum

Požadavky kladené na filtr

Jak je zřejmé z prvního matematického vztahu, Wienerův filtr má za úkol spočítat inverzní konvoluci za přítomnosti nenulového šumu. Problém inverzní konvoluce řeší i inverzní filtr, ale jeho korektní funkčnost je omezena jen na obrázky bez šumu. +more K odvození Wienerova filtru vedly následující dva předpoklady:.

* E(\|f'(x, y) - f_i(x, y)\|^2) \, → minimální

tedy, že střední hodnota druhé mocniny přes všechny realizace šumu a pro jejich všechny parametry bude mít od hledaného obrázku minimální vzdálenost. f_i(x, y) \, značí hledaný obrázek se všemi známými realizacemi šumu a jejich parametry, f'(x, y) \, značí náš obrázek před deformací šumem. +more Jak patrné z prvního kritéria, tak metoda vychází z empirických znalostí šumů a pravděpodobnosti jejich rozdělení v obrázku. Druhý požadavek na Wienerův filtr je, aby byl lineární. Tento požadavek se formuluje pro frekvenční oblasti obrázků. Tedy nechť \mathcal{F}(f') = F \, je Fourierova transformace původní obraz, tak jak vypadá bez šumu. \mathcal{F}(g) = G \, je zašuměný obrázek, který má být opraven a R \, je nějaká transformační matice, jež násobením transformuje poškozený obrázek do jeho "opravené" varianty. Zmiňovaná linearita filtru má tedy tvar (parametry funkcí (u, v) \, označují souřadnice ve frekvenční (Fourierově) oblasti):.

* \mathcal{F}(f')(u, v) = \mathcal{F}(g)(u, v) \cdot R(u, v) \, → F'(u, v) = G(u, v) \cdot R(u, v)

Vzorec filtru a jeho parametrizace

Z předchozích požadavků byl odvozen následující filtr, který po vynásobení (jedná se o násobení matic po prvcích) s maticí poničeného obrázku dá rekonstruovaný obraz:

: R(u, v) = \frac{1}{H(u, v)} \cdot \frac{|H(u, v)|^2}{|H(u, v)|^2 + S_n(u, v)/S_f(u, v)} \,

V tomto vzorci H(u, v) \, značí Fourierův obraz impulzní odezvy h(x, y) \, a podíl S_n(u, v)/S_f (u, v) \, je jiný zápis tzv. poměr signálu a šumu , což nám určuje míru zašumění obrázku. +more Vidíme, že tento výraz obecně závisí na parametrech frekvence (u, v) \,. Ale za předpokladu bílého šumu můžeme S_n(u, v) \, psát jako rozptyl šumu \sigma_n^2 \, (což je konstanta v celém obrázku), dále budeme předpokládat nekorelovanost obrázku (což v reálu neplatí, ale jako přiblížení se dá použít) a můžeme tedy S_f(u, v) \, aproximovat rozptylem obrázku \sigma_f^2 \,. (Rozptyly jsou vlastně odhady energie šumu a energie obrázku). Z tohoto přiblížení nám vyjde, že podíl S_n(u, v)/S_f(u, v)\, máme roven konstantně (číslu) \sigma_n^2 / \sigma_f^2 \,. V praxi to znamená, že za tento podíl dosazujeme různá čísla (např. od 0. 001 do 1000) a koukáme, co nám dá nejlepší výsledek. Když Wienerův filtr aplikujeme na nezašuměný obrázek (tedy S_n(u, v) \, bude rovno nule), pak nám tento filtr R(u, v) \, přechází v R(u, v) = \frac{1}{H(u, v)} \,, což je předpis pro inverzní filtr.

Externí odkazy

Kategorie:Počítačová grafika Kategorie:Zpracování obrazu Kategorie:Zpracování digitálního signálu