Zaokrouhlení

Graf funkcí zaokrouhlení dolů (zeleně) a nahoru (červeně) Zaokrouhlení (≐) je aritmetický proces, při kterém se snižuje počet významových číslic v čísle. Má kardinální význam pro počítání, každé zapsané číslo je nutně určitým zaokrouhlením, preparací skutečné hodnoty, její digitalizací. Je to zvláštní případ obecnějšího postupu - článkování řeči, součásti základu myšlení, podmínky řeči vůbec.

Výsledek zaokrouhlení je „kratší“ číslo, má menší počet nenulových číslic zprava, je méně přesný, ale lépe se s ním manipuluje a lépe se zobrazuje.

Např. číslo \pi (pí), má nekonečný desetinný rozvoj: 3,141592653589793238462643383279…

Leží tedy někde v intervalu 3{,}141 .

Pokud ho chceme vyjádřit na tři desetinná místa, potom přičteme polovinu rozsahu v daném desetinném místě: 3{,}1415926\ldots + 0{,}0005 \, \dot= \, 3{,}1420926 a zbytek se zahodí. Číslo \pi zaokrouhlené na 3 desetinná místa je 3,142.

Typy zaokrouhlování

Používají se tyto typy zaokrouhlování: * zaokrouhlení dolů (angl. floor) - výsledkem je nejbližší celé číslo, které je menší nebo rovno zaokrouhlovanému číslu. +more Někdy bývá uváděno, že zaokrouhlením dolů provádíme prosté odříznutí (resp. vynulování) číslic nižších řádů, než je zvolený řád zaokrouhlení, avšak toto tvrzení neplatí pro záporná čísla (např. číslo −3,3 zaokrouhlujeme dolů na −4). * zaokrouhlení nahoru (angl. ceil) - výsledkem je nejbližší celé číslo, které je větší nebo rovno zaokrouhlovanému číslu. * aritmetické zaokrouhlení (angl. round) - výsledkem je celé číslo, které je na číselné ose nejblíže zaokrouhlovanému číslu. Obvyklé zaokrouhlení, které může být prováděno např. tak, že se číslo zvětší o polovinu intervalu a pak zaokrouhlí dolů.

Při zaokrouhlování dochází k nutné a žádoucí chybě (nepřesnosti).

Kromě toho ovšem dochází k chybám nežádoucím, které jsou dvojí: * zaokrouhlení (přesné) pětky, kdy je nutné se rozhodnout, zda zaokrouhlit na nejbližší vyšší nebo nižší; praktické postupy jsou 4: nahoru, dolů, na sudou, náhodně * postupné zaokrouhlování

Zaokrouhlení pětky

Pro číslo uprostřed zaokrouhlovacího intervalu se volí různě „šalamounská“ řešení, například nahoru anebo s příklonem k sudé číslici (preference sudé). Preferencí sudé se řeší to, že při jednostranném zaokrouhlení těchto čísel nahoru uprostřed (bez preference sudé), které se často učí děti na základních školách, se výsledky v průměru nadsazují.

Příklad zaokrouhlení pětky:

3{,}245 \dot= \left\{\begin{matrix} 3{,}24 \\ 3{,}25 \end{matrix}\right.

V obou možnostech je stejná absolutní chyba, ale při preferenci sudé zde zaokrouhlíme dolů na 3,24; pokud použijeme přičtení poloviny v daném desetinném místě a ořízneme, vyjde 3,25. Zaokrouhlování s preferencí sudé číslice se používá např. +more v normě IEEE 754 pro zobrazení čísel s plovoucí řádovou čárkou.

Např. z hodnot 1{,}5; 1{,}5; 4{,}5; 2{,}5; 1{,}5 se součtem 11{,}5 a s průměrnou hodnotou 2{,}3 získáme po zaokrouhlení půlek nahoru hodnoty 2; 2; 5; 3; 2, součet 14 a průměr 2{,}8, kdežto při preferenci sudé čísla získáme 2; 2; 4; 2; 2, součet 12 a průměr 2{,}4, tedy menší průměrnou chybu.

Postupné zaokrouhlování

Při postupném zaokrouhlování (zaokrouhlení na nižší a pak až na vyšší řád) vzniká další typ chyby: výsledek se může lišit od výsledku při přímém zaokrouhlení na vyšší řád.

Příklad: zaokrouhlit 1,45 na dvě desetinná místa.

1{,}45 \, \dot= \, 1{,}5 \, \dot= \, 2

Oproti tomu při přímém zaokrouhlení na celá čísla je výsledek

1{,}45 \, \dot= \, 1

Kategorie:Aritmetika