Autokorelace

Autokorelace náhodných složek je jev, kterým ve statistice označujeme porušení Gauss-Markovova požadavku pro možnost odhadu regresních parametrů metodou nejmenších čtverců.

Matice kovariancí \Sigma, která má při splnění nekorelovanosti náhodných složek tvar: \Sigma = \sigma^2 * I_n, při autokorelaci vykazuje nenulové kovariance (tedy nediagonální prvky jsou nenulové). Platí, že \sigma^2 je nám neznámý rozptyl náhodných složek a I_n je jednotková matice řádu n.

Příčiny vzniku autokorelace

# chybná specifikace modelu - tzv. kvaziautokorelace # přílišná aproximace v modelu (např. +more místo x^2 použijeme x apod. # použití časově zpožděných proměnných v modelu # zahrnutí chyb měření do vektoru u # použití upravených dat - např. extrapolovaných, centrovaných, interpolovaných apod.

Důsledky autokorelace

# ztráta vydatnosti odhadu i asymptotické vydatnosti odhadu regresních parametrů # \sigma^2 i standardní chyby s_{b_j} jsou vychýlené, R2 je nadhodnoceno, zatímco t-testy jsou slabé a rezidua jsou podhodnocená

Autokorelace prvního řádu

Tzv. autoregresní struktura prvního řádu:

u_t = \rho * u_{t-1} + \epsilon_t

zároveň platí následující vztah:

E(u^T_t u_s) = \rho^{t-s} * \sigma^2

kde \rho je tzv. autokorelační koeficient prvního řádu. +more Platí pro něj \left| \rho \right| \leq 1, protože jinak by měla rovnice explozivní charakter a byla by tak narušena homoskedasticita v matici \Sigma. Nejsilnější korelace je vždy mezi dvěma sousedními vektory náhodných složek.

* Pokud je \rho > 0, pak se jedná o pozitivní autokorelaci. * Pokud je \rho , pak se jedná o negativní autokorelaci. * Pokud je \rho = 0, pak jsou složky vektorů u_s a u_t sériově nezávislé.

Testování výskytu autokorelace

Protože neznáme přesnou podobu vektoru náhodných složek u, pracujeme s vektory reziduí e_i.

Durbinova-Watsonova statistika

Předpoklady použití testu

# úrovňová konstanta v modelu # regresory nejsou stochastické proměnné

Testovací statistika

d = \frac{\sum_{t=2}^T (u_t - u_{t-1})^2} {\sum_{t=1}^T u_t^2}

Pro výslednou charakteristiku nelze určit kritickou hodnotu, při které bychom odmítli hypotézu H0 při testování proti d-statistice. Postup vyhodnocení je následující:

# statistika d má střední hodnotu E(d) = 2 a nachází se v intervalu # stanovíme tabulkové hodnoty dD (dolní mez d) a dH (horní mez d) podle stupňů volnosti modelu # porovnáme hodnotu d s následujícími intervaly a na základě pozice d vyhodnotíme autokorelaci:

* Interval D> značí pozitivní autokorelaci * V intervalu D;dH> nemůžeme rozhodnout, zda se jedná o korelaci, či nikoliv * Interval H;2> poukazuje na statisticky nevýznamnou pozitivní autokorelaci

* Interval H> poukazuje na statisticky nevýznamnou negativní autokorelaci * V intervalu H;4-dD> nemůžeme rozhodnout, zda se jedná o korelaci, či nikoliv * Interval D;4> poukazuje na statisticky významnou negativní autokorelaci Watsonova statistika

Durbinovo h

použijeme právě tehdy, pokud se v modelu nachází zpožděná vysvětlovaná proměnná

Statistika h má následující podobu:

:h = (1 - d/2) \sqrt{\frac{T} {1-Ts^2_{b_j}} }, kde j značí j-tou vysvětlující zpožděnou proměnnou za podmínky, že s^2_{b_j} .

Statistiku h testujeme přes normované normální rozdělení N(0;1), kdy pro * h předpokládáme sériovou nezávislost náhodných složek * h \geq \left| U_{1-\alpha} \right| usuzujeme na autokorelaci

Postup v případě identifikování autokorelace náhodných složek

# ověřit správnost modelu (jestli se nejedná o kvaziautokorelaci) # logaritmování nebo semilogaritmování dat # transformace dat v matici pozorování X pomocí matice T - tzv. Praisova-Winstenova transformace

T = \frac{1} {\sqrt{1 - \rho^2}} * \begin{pmatrix} \sqrt{1-\rho^2} & 0 & \dots & 0 & 0\\ -\rho & 1 & \dots & 0 & 0\\ 0 & -\rho & 1 & \dots & 0\\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & 0\\0 & 0 & \dots & -\rho & 1\\ \end{pmatrix}

což vyústí v následující podobu modelu, který již bude poskytovat při použití metody zobecněných nejmenších čtverců vydatné i asymptoticky vydatné odhady regresních parametrů:

:y_t - \rho y_{t-1} = \alpha(1-\rho)+\beta(X_t - \rho X_{t-1}) + e_t. \,

Odkazy

Reference

Cochrane a Orcutt. 1949. "Application of least squares regression to relationships containing autocorrelated error terms". Journal of the American Statistical Association 44, str. 32-61

Literatura

Hušek, R. Ekonometrická analýza, Praha, 2007, nakladatelství Oeconomica,

Kategorie:Ekonometrie Kategorie:Popisná statistika Kategorie:Časové řady