Duální kód

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Duální kód daného lineárního kódu

:C\subset\mathbb{F}_q^n

je lineární kód definovaný jako

:C^\perp = \{x \in \mathbb{F}_q^n \mid \langle x,c\rangle = 0\;\forall c \in C \},

kde

:\langle x, c \rangle = \sum_{i=1}^n x_i {c_i}^p

a p je charakteristikou konečného pole Fq. Z hlediska pojmů lineární algebry je duální kód anihilátorem C vzhledem k bilineární formě . +more Součet dimenze kódu C a dimenze jeho duálu je vždy roven n: :\dim C + \dim C^\perp = n. Duální kód duálního kódu tvoří vždy původní kód.

Samoduální kódy

Samoduální kód je takový kód, který je duální sám k sobě. Z toho vyplývá, že n musí být sudé a dim C = n/2. +more Samoduální kódy je možno rozdělit na čtyři typy: * Typ I - binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu, ale nikoliv dělitelnou čtyřmi * Typ II - binární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou čtyřmi * Typ III - ternární samoduální kódy, jejichž kódová slova mají Hammingovu váhu dělitelnou třemi * Typ IV - samoduální kódy nad F4, jejichž kódová slova mají sudou Hammingovu váhu.

Kódy typu I, II, III, respektive IV existují pouze v případě, že je délka n násobkem 2, 8, 4, respektive 2.