Homogenní polynom

Homogenní polynom, případně homogenní mnohočlen, je označení takového mnohočlenu, který má v každém ze svých členů stejný součet mocnin u proměnných, každý ze členů je tedy stejného stupně. Tedy například mnohočlen x^3 + 2xy^2 + 3y^3 je homogenní (všechny členy jsou stupně 3), naopak mnohočlen x^2+x^2y^2+y^2 homogenní není (krajní členy jsou stupně 2, zatímco prostřední je stupně 4).

Homogenizace polynomu

Každý mnohočlen lze homogenizovat přidáním jedné nové proměnné a dosazením náhradou stávajících výraznem s jinou proměnnou a to následujícím způsobem: Je-li dán mnohočlen p(x_1,\dots, x_n) s maximálním stupněm členů rovným d, pak k němu vytvoříme homogenizovaný polynom přidáním proměnné x_0: :p_H(x_0,x_1,\dots, x_n) = x_0^d\cdot p\left(\frac{x_1}{x_0}, \frac{x_2}{x_0},\dots, \frac{x_n}{x_0}\right) Dosazením x_0=1 lze naopak z homogenizovaného mnohočlenu získat mnohočlen původní.

Příklad

Pro mnohočlen p(x,y) = x^2+x^2y^2+y^2 získáme homogenizovaný mnohočlen dosazením \frac{x_h}{z_h} \rightarrow x, \frac{y_h}{z_h} \rightarrow y a vynásobením z_h^4. Pak platí p_H(x_h,y_h,z_h) = z^4_h\cdot p \left(\frac{x_h}{z_h}, \frac{y_h}{z_h}\right)= x_h^2z_h^2 + x_h^2y_h^2+y_h^2z_h^2. +more Dosazením z_h=1 získáváme původní x^2+x^2y^2+y^2. Homogenizace mnohočlenu tedy v podstatě spočívá v tom, že se každý člen vynásobí takovou mocninou nově přidaného argumentu, aby se souhrnný stupeň každého členu rovnal souhrnnému stupni toho z členů, který ho má nejvyšší.

Kategorie:Algebraická geometrie