Husté uspořádání

Husté uspořádání je matematický pojem z oboru teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání.

Motivací k zavedení tohoto pojmu je zobecnění vlastností množiny racionálních čísel při běžném uspořádání podle velikosti.

Definice

Řekneme, že ostré lineární uspořádání R na množině A je husté, pokud mezi každé dva různé prvky množiny A lze vložit jiný její prvek ( \forall x,y \isin A) ( \exist z \isin A) ( x

Vlastnosti

Snadno se dá ověřit, že mezi každými dvěma různými prvky hustě uspořádané množiny leží nekonečně mnoho jejích prvků.

Budu-li uvažovat o běžném uspořádání čísel podle velikosti relací , pak * množina \mathbb{R} \,\. všech reálných čísel je hustě uspořádaná * každý interval na množině reálných čísel je hustě uspořádaný * množina \mathbb{Q} \,\. +more všech racionálních čísel je hustě uspořádaná, stejně jako každý její interval * množina přirozených čísel není hustě uspořádaná podle velikosti - například mezi 1 a 2 neexistuje žádné další přirozené číslo.

Zajímavé je, že pro spočetné množiny lze při zkoumání vlastností hustých uspořádání vystačit s \mathbb{Q} \,\! , jak ukazuje následující věta, vyslovená a dokázaná Georgem Cantorem:

Každá hustě uspořádaná spočetná množina bez nejmenšího a největšího prvku je izomorfní s \mathbb{Q} \,\! .

Související články

Lineární uspořádání * Dedekindův řez * Hustá množina

Kategorie:Teorie uspořádání