Hyperkoule

Technology

12 hours ago

Author

Hyperkoule je v geometrii zobecnění kruhu a koule do vícerozměrného (n>3) prostoru. Je definována jako množina bodů, které mají od daného bodu (tzv. středu) vzdálenost menší nebo rovnu poloměru r. Povrch hyperkoule v n-rozměrném prostoru je (n-1)-rozměrný a tvoří varietu, která se nazývá (n-1)-sféra a značí se standardně \mathbb S^{n-1}. (viz také 3-sféra)

Vzorce pro objem a povrch

Objem n-rozměrné koule je :V = r^n \prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}}=r^n{\pi^\frac{n}{2}\over {\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}},

kde \Gamma(x) je funkce gama. Tento zápis lze zjednodušit rozpisem na sudé a liché počty rozměrů. +more Je-li n liché, potom :V_l = r^n \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}2^{\frac{n+1}{2}}}{n. },.

a pro sudé n :V_s = r^n \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}.

Povrch n-rozměrné koule je shodný s derivací objemu podle r, tedy :S = n r^{n-1} \prod_{k=1}^n{\frac{\sqrt{\pi}\ \Gamma\left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}}=n r^{n-1}{\pi^\frac{n}{2}\over {\Gamma\left(\frac{n}{2}+1\right)}}

Je-li n liché :S_l = n r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n-1}{2}}2^{\frac{n+1}{2}}}{n!!},

je-li n sudé :S_s = n r^{n-1} \frac{\pi^{\frac{n}{2}}}{\left(\frac{n}{2}\right)!}.