Cesko.wiki Inverzní matice
Author
Albert FloresInverzní matice k dané regulární matici je taková matice, která po vynásobení s původní maticí dá jednotkovou matici. Výpočet inverzní matice je důležitý při řešení řady úloh z lineární algebry, statistiky a dalších oborů užité matematiky.
Značení
Inverzní matici k matici A značíme A−1.
Vlastnosti
Vynásobením regulární matice s její inverzí dostáváme jednotkovou matici.
:\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{A} = \mathbf{I},
kde \mathbf{I} je jednotková matice.
Inverzní matici lze sestrojit pouze pro regulární matici.
Pro obdélníkovou matici můžeme sestrojit tzv. pseudoinverzi matice.
Výpočet inverzní matice pomocí řádkových úprav
Základní metodou výpočtu inverzní matice je Gauss-Jordanova eliminační metoda. Postup: # Vedle sebe napíšeme matici, kterou chceme invertovat, a jednotkovou matici. +more # Matici upravujeme na jednotkovou matici standardními způsoby: #* záměna řádků #* vynásobení řádku skalárem (nejčastěji přirozeným číslem) #* přičtení násobku jednoho řádku k jinému # Každý úkon prováděný na upravované matici musíme provést i na jednotkové matici. # Zkoušku provedeme vynásobením matice s její inverzí.
Pro zvýšení numerické přesnosti se při faktických výpočtech na samočinných počítačích provádí obvykle navíc pivotace prvků.
Příklad
V tomto příkladě se inverzní matice hledá Gauss-Jordanovou eliminační metodou. Nejprve se matice nalevo převede na trojúhelníkovou, ve které budou všechny prvky pod diagonálou nulové. +more Následně se tato matice převede na jednotkovou. Současně s maticí nalevo se provádějí všechny operace i s maticí napravo. Tento postup je zcela obecný a pokud je matice regulární, vždy vede přímo k cíli.
Vlevo zadaná matice, vpravo matice jednotková:
\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\1 & 1 & 1\\1 & 2 & 4 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}
Nejprve postupujeme shora dolů. První řádek necháme, od druhého řádku odečteme (jednonásobek) první a od třetího odečteme také (jednonásobek) první. +more Druhý a třetí řádek vynásobíme s (-1), což je povoleno.
\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\1 & 0 & -1\end{pmatrix}
První a druhý řádek necháme, od třetího odečteme polovinu druhého.
\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 2 & 4\\0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\1 & -1 & 0\\\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -1\end{pmatrix}
Nyní pro jednoduchost dalších operací vynásobíme řádky převrácenými hodnotami jejich prvků na diagonále. První řádek necháme (vynásobíme jedničkou), druhý vynásobíme \frac{1}{2} a třetí -1.
\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}
Získali jsme trojúhelníkovou matici s jedničkami na diagonále. V dalších krocích převedeme matici tak, aby i prvky nad diagonálou byly nulové. +more Postupujeme zdola nahoru. Poslední řádek necháme, od druhého řádku odečteme dvojnásobek třetího a od prvního řádku odečteme pětinásobek třetího.
\left.\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}\frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -5\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}
V posledním kroku odečteme od prvního řádku trojnásobek druhého.
\left.\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right|\begin{pmatrix}-1 & 1 & 1\\\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & -2\\-\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}
Výpočet inverzní matice pomocí adjungované matice
Pomocí determinantu \det\mathbf{A}matice a adjungované matice \mathop{\mathrm{adj}} \mathbf{A} (sestavené z algebraických doplňků) je možné najít inverzní matici použitím vzorce \mathbf{A}^{-1} = \frac {1}{\det \mathbf{A}}\cdot \mathop{\mathrm{adj}}\mathbf{A}.
Tento postup umožňuje přímý výpočet každého z prvků inverzní matice. Matice \mathbf{A}^{-1} má v i-tém řádku a j-tém sloupci prvek \frac{(-1)^{i+j}\cdot \det\mathbf{A}_{ji}}{\det\mathbf{A}}, kde \mathbf{A}_{ji} je submatice získaná z matice \mathbf{A} vynecháním j-tého řádku a i-tého sloupce.
Řešení soustavy lineárních algebraických rovnic
Inverzní matici lze využít k nalezení řešení soustavy lineárních algebraických rovnic.
Je-li matice \mathbf{A} soustavy rovnic čtvercová (tedy m = n) a regulární, pak lze řešení \mathbf{X} soustavy rovnic :\mathbf{A} \cdot \mathbf{X} = \mathbf{B} získat pomocí matice \mathbf{A}^{-1}, která je inverzní k matici \mathbf{A}, neboť platí že :\mathbf{X} = \mathbf{A}^{-1} \cdot \mathbf{B}
Související články
Čtvercová matice * Regulární matice * Determinant * Transpozice matice * Hodnost matice * Lineární algebra
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20061002134341/http://www. kolej. mff. cuni. cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/algebra. html]Pěstujeme lineární algebru[/url] * [url=http://www. umat. feec. vutbr. cz/~novakm/linearni_algebra/]Lineární algebra: práce s maticemi[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/matreg. php]Operace s maticemi v R (determinant, stopa, inverzní, adjungovaná, transponovaná)[/url] Aplikace, která vypočítá inverzní matici z matice řádu 2-8 * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/linrov. php]Online výpočet soustav lineárních rovnic[/url].