Jehlan

Obecné vlastnosti

Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako :V=\frac{S_p.v}{3} \,\!, kde S_p \,\! je obsah podstavy a v \,\! výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny. :S = P + Q \,, kde P je obsah podstavy a Q je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“. ). +more Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“. +more) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o n \,\. stranách, má jehlan: * celkem n + 1 \,\. +more vrcholů * celkem 2 \cdot n \,\. hran * celkem n + 1 \,\. stěn Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3). Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.

Speciální případy

Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový jehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jej kosý.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelném n -bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany a a jeho výškou v : Pravidelný kolmý jehlan

* Výška boční stěny:

v_s = \frac{1}{2}\sqrt{4v^2+\left( a \cdot{\cot\frac{\pi}{n}}\right)^2}

* Délka boční hrany:

s = \frac{1}{2}\sqrt{4v^2+\left( \frac{a}{\sin\frac{\pi}{n}}\right)^2}

* Povrch:

S = \frac{1}{4}na^2\cot\frac{\pi}{n}\left( 1+\sqrt{1+ 4\left( \frac{v}{a}\tan\frac{\pi}{n} \right)^2} \right)

* Objem:

V = \frac{1}{12}n a^2 v \cdot \cot\frac{\pi}{n}

* Sklon boční hrany:

\alpha = \arctan \left( 2\frac{v}{a}\sin\frac{\pi}{n}\right)

* Sklon boční stěny:

\beta = \arctan \left( 2\frac{v}{a}\tan\frac{\pi}{n} \right)

* Odchylka bočních hran:

\gamma= 2\arctan \frac{a}{\sqrt{4v^2+a^2\cot^2\frac{\pi}{n}}}

* Odchylka boční a podstavné hrany:

\delta= \arctan {\sqrt{4\left( \frac{v}{a} \right)^2+\cot^2\frac{\pi}{n}}}

* Odchylka bočních stěn:

\varepsilon = 2\arcsin \sqrt{\frac{4v^2\sin^2 \frac{\pi}{n}+a^2}{4v^2\tan^2 \frac{\pi}{n}+a^2}} , speciálně pro n=4 je \varepsilon = 2\arcsin \sqrt{\frac{2v^2+a^2}{4v^2+a^2}}

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn. +more Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem V \,\! a obsah S \,\! lze vypočítat z délky jeho hrany:

* S=a^2\sqrt{3} \,\! * V=\begin{matrix}{\sqrt{2}\over12}\end{matrix}a^3 \,\!

Jeho výšku lze vypočítat jako v=(a/3) \sqrt{6} .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch. +more Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem V \,\! a povrch S \,\! lze vypočítat z délky strany základny a \,\! a výšky v \,\! :

* V = \frac{1}{3} a^2v\,\! * S = a \left( a+\sqrt{4v^2+a^2} \right)

Literatura

Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, str. 104-106 * Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, str. +more 117-120.

Související články

Geometrický útvar * Mnohostěn * Komolý jehlan * Válec * Platónská tělesa

Externí odkazy

Kategorie:Mnohostěny