Kreační operátor

Kreační a anihilační operátory byly původně zavedeny jako pomůcka pro řešení lineárního harmonického oscilátoru. Později nalezly značné uplatnění ve formalizmu obsazovacích čísel u nerozlišitelných částic, případně teorii pole.

Lineární harmonický oscilátor

U lineárního harmonického oscilátoru zavádíme anihilační operátor v energiové bázi takto:

\hat{a}|n\rangle = \sqrt{n}|n-1\rangle

Matice tohoto operátoru má tedy tvar:

\hat{a}=\begin{pmatrix}0& \sqrt{1} & 0 &\cdots&\cdots\\0 & 0 & \sqrt{2}&\cdots&\cdots \\\vdots & 0 & 0&\sqrt{3}&\cdots\\\vdots & \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}

Hermitovským sdružením matice získáme vztah pro operátor kreační:

\hat{a}^\dagger |n\rangle = \sqrt{n+1}|n+1\rangle

Speciálně od je zřejmé, že: \hat{a}|0\rangle=0

Případně, že:

|n\rangle=\frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat{a}^\dagger)^n |0\rangle

Vidíme tedy, že n-tý energetický stav je až na konstantu dán n-násobným působením kreačního operátoru na vektor |0\rangle, který nazýváme vakuum.

Pro další výpočty je užitečná komutační relace, kterou lze snadno odvodit z definice:

[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1

Z definic je taktéž zřejmé, že definujeme-li operátor \hat{N} jako

\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a},

pak pro diagonální maticové elementy platí:

\langle n|\hat{N}|n\rangle=n

Tento operátor tedy odpovídá pozorovatelné veličině, jenž udává v kolikáté energetické hladině se systém nalézá. Z důvodu, jenž bude zřejmý později, tento operátor nazýváme operátorem počtu částic.

Reprezentace obsazovacích čísel

Reprezentace obsazovacích čísel je s výhodou používána u systémů skládajícího se z několika identických částic, bosonů nebo fermionů. Výhodou tohoto popisu je skutečnost, že takto zapsané vektory automaticky splňují podmínky související s nerozlišitelností částic.

Kategorie:Lineární algebra