Lieova grupa

Technology

12 hours ago

Author

Lieova grupa (čti „liova“) je matematický pojem pojmenovaný po norském matematikovi Sophusi Lieovi. Lieovy grupy spojují dohromady pojmy grupy a hladké variety, díky čemuž představují přirozený matematický model tzv. spojitých symetrií. Lieovy grupy jsou mocným nástrojem v mnoha oblastech matematiky, ale také prakticky ve všech oblastech moderní fyziky, od mechaniky a teorie pole až po částicovou fyziku.

Definice

Lieovou grupou se nazývá každá grupa G, na níž je zároveň dána struktura hladké variety tak, že zobrazení (g,h)\rightarrow g\cdot h a g\rightarrow g^{-1} jsou spojitá a nekonečně diferencovatelná.

Lieovy grupy lze zobecnit i pro komplexní případ. Stačí v definici nahradit hladkou varietu varietou komplexní a spojitost holomorfností.

Klasifikace

Lieovy grupy (stejně, jako jiné grupy) členíme na dva základní typy: abelovské grupy a neabelovské grupy. Formálně rozlišuje abelovské a neabelovské grupy hodnota veličiny zvané komutátor. +more Ten má nenulovou hodnotu u neabelovských grup.

Pro Lieovy grupy (zejména jejich aplikace ve fyzice) je významná klasifikace, kterou vypracoval Felix Klein, Sophus Lie, Wilhelm Killing a zejména francouzský matematik Élie Cartan. Tato klasifikace se řadí k nejvýznamnějším výsledkům novodobé matematiky vůbec a díky ní dnes známe všechny typy tzv. +more prostých Lieových grup. Tvoří je čtyři tzv. regulární typy, označované písmeny A, B, C a D. Tyto grupy se dají reprezentovat jako grupy invertibilních lineárních zobrazení nějakého vektorového prostoru. Typ A obsahuje grupy, které pozůstávají ze všech lineárních zobrazení n-rozměrného prostoru, které mají determinant 1, příslušná grupa se značí A_{n-1}=SL(n,V). Typ C obsahuje grupy pozůstávající ze zobrazení, které zachovávají antisymetrickou nedegenerovanou bilineární formu na prostoru V dimenze 2n, značíme C_n=Sp(2n,V). Tato grupa se nazývá symplektická. Typ B a D se skládají z ortogonálních grup O(n,V) nad prostorem liché (B) resp. sudé (D) dimenze.

Kromě toho existuje také pětice tzv. výlučných (též sporadických) Lieových grup, označovaných symboly G2, F4, E6, E7, E8. +more Teorie Lieových grup, zejména pak zmíněných pěti výlučných typů, má hlubokou vnitřní souvislost s oktoniony.