Lineární funkcionál

Lineární funkcionál nebo lineární forma je v matematice lineární zobrazení z množiny vektorů daného vektorového prostoru do množiny jeho skalárů. Jedná se tedy o funkcionál, který je zároveň lineární.

Definice

Nechť V je vektorový prostor nad tělesem T. Zobrazení f: V \to T sa nazývá lineární funkcionál, pokud jde o zobrazení do tělesa, které je zároveň lineární, tj. +more: # \forall x \in V\. : f(x)\in T, # \forall x,y \in V\. : f(x + y) = f(x) + f(y), # \forall x \in V \ \forall \alpha \in T\. : f(\alpha \cdot x) = \alpha f(x). Podmínky 2. , 3. můžeme ekvivalentně přepsat do podmínky.

:\forall x,y \in V\ \forall \alpha,\beta \in T\!: f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha f(x) + \beta f(y).

Uvedenou definici můžeme přeformulovat tak, že f je lineární zobrazení z V do T.

# \forall x \in V\!: f(x)\in T, # \forall x,y \in V\ \forall \alpha,\beta \in T\!: f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha f(x) + \beta f(y).

Příklad

Lineární funkcionály v Rn

Uvažujme o euklidovském prostoru \mathbb{R}^n. Předpokládejme, že vektory prostoru \mathbb{R}^n jsou reprezentované jako sloupcové vektory typu

:x = (x_1,x_2,\ldots,x_n)^T.

Potom každý lineární funkcionál možno zapsat ve tvaru

:f(x) = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n.

Předchádzející výraz je možno ekvivalentně zapsat jako maticový součin

:f(x) = (a_1,a_2,\ldots,a_n) \cdot (x_1,x_2,\ldots,x_n)^T.

Lineární funkcionály na \mathbb{R}^n mohou být tudíž reprezentovány jako n-rozměrné řádkové vektory (a_1,a_2,\ldots,a_n).

Externí odkazy

[url=http://mathworld. wolfram. +morecom/LinearFunctional. html]Definice lineárního funkcionálu[/url] na Wolfram MathWorld * [url=https://kmlinux. fjfi. cvut. cz/~balkolub/vyuka. html]stránky Lubomíry Dvořákové týkající se lineární algebry[/url].

Kategorie:Lineární algebra