Logaritmická rovnice

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Logaritimická rovnice je tehdy, pokud je neznámá v logaritmu.

Příklad, jak může rovnice vypadat: (3 - x) \cdot \log x=(2 - x) \cdot \log 4

Řešení logaritmické rovnice

Odstraněním logaritmu

# \frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = 0 ## Podmínkou je, že 3x - 5 > 0 ## 3x > 5 ## x > \frac{5}{3} # Z 0 uděláme logaritmus o stejném základu jako je na levé straně, čili o základu 2: \frac{1}{7}\log_2 (3x - 5) = \log_2 1 # \frac{1}{7} napíšeme jako exponent: \log_2 (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = \log_2 1 # Nyní můžeme odstranit logaritmus na obou stranách, protože mají stejné základy: (3x - 5)^\frac{1}{7}\ = 1 # Z exponentu \frac{1}{7} uděláme sedmou odmocninu: \sqrt[7]{3x - 5} = 1 # Celou rovnici umocníme na 7: 3x - 5 = 1 # Nyní to budeme řešit jako lineární rovnici: 3x = 1 + 5 # 3x = 6 # Celou rovnici vydělíme 3: x = 2 Výsledek vyhovuje (dle podmínky) a tím je vyřešena logaritmická rovnice.

S pomocí vztahů které platí pro logaritmy

# \log_{a}\frac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c # \log_{a}b*c=\log_{a}b+\log_{a}c # \log_{a}x^n=n*\log_{a}x # a^{\log_a x}= x # \log_{a}b=\frac{\log_{x}b}{\log_{x}a} Používá se u logaritmů s různými základy

1. rovnice

1. (3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4

2. Roznásobíme závorky:

3\log2-x\log2=2\log4- x\log4

3. členy rovnice s x přesuneme na druhou stranu rovnice

x\log4-x\log2=2\log4-3\log2

4. Vytkneme x a na pravé straně použijeme vzorec 3.

x*(\log4-\log2)=\log4^2-\log2^3

5. převedeme závorku na druhou stranu a použijeme vzorec 1.

x=\frac{\log\frac{16}{8}}{\log\frac{4}{2}}

x=\frac{\log2}{\log2}

6. A máme tu řešení

x=1

2. rovnice

# x^{\log x}=100x # zlogaritmujeme: #: \log(x^{\log x})= \log(100x) # použijeme vztahy 2. a 3. +more #: \log x*\log x=\log100+\log x # log 100 = 2 a zavedeme substituci \log x=a #: a^2=2+a # Dostáváme kvadratickou rovnici a^2-a-2=0.

a=2

a=-1 # x=10^2=100 # x=10^{-1}=0{,}1

# Podmínky řešení neovlivní a tím je rovnice vyřešena.

3. rovnice

# x=\log_{2}4-\log_{2}8+\log_{2}16 # Použijeme vzorec 5.

x=\frac{\log_{2}4}{\log_{2}2}-\frac{\log_{2}8}{\log_{2}2}+\frac{\log_{2}16}{\log_{2}2} # x=\frac{2}{1}-\frac{3}{1}+\frac{4}{1} # x=3

S pomocí kalkulačky

# (3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4 # Vynásobíme závorky s logaritmem: 3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4 # Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu rovnice: - x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2 # Vytkneme x: x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2 # Připravíme si rovnici k vyřešení a vypočítáme na kalkulačce: x=\frac{-\log 2 + \log 4}{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2} # x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 4^2 - \log 2^3} # Vypočítáme na kalkulačce: x = \frac{-\log 2 + \log 4}{\log 16 - \log 8} # Výsledek je: x = 1 Tím je vyřešená logaritmická rovnice.

Substituce

# (\log_2 x)^2 - \log_2 x - 2 = 0 Poznámka: (\log_2 x)^2 = \log_2^2 x ## Podmínkou je, že x > 0 # Zavedeme substituci a = \log_2 x čili: a^2 - a - 2 = 0 # (a - 2)(a + 1) # Nyní máme výsledky kvadratické rovnice: ## a_1 = 2 ## a_2 = -1 # Vyřešíme obě rovnice: ##\log_2 x = 2 ### Z pravidla víme, že y = \log_a x => a^y = x čili: x = 2^2 ### x = 4 ## \log_2 x = -1 ### Z pravidla víme, že y = \log_a x => a^y = x, čili: x = 2^{-1} ### x = \frac{1}{2^1} ### x = \frac{1}{2} Oba výsledky vyhovují (dle podmínky) a tím je logaritmická rovnice vyřešena.