Nepřímý důkaz

Nepřímý důkaz se v matematice používá k dokázání matematických vět tvaru implikace P \rightarrow T, tj. vět tvaru „Jestliže platí předpoklad P, pak platí také tvrzení T“. Spočívá v tom, že se z negace výroku T odvodí negace výroku P, tj. dokáže se tvrzení \neg T \rightarrow \neg P.

Zdůvodnění správnosti

Dokázáním implikace \neg T \rightarrow \neg P je již skutečně dokázáno i P \rightarrow T. Pokud totiž P platí, musí platit i T, jinak by totiž platilo \neg T a podle dokázané implikace \neg P, tedy by neplatilo P.

Souvislost s důkazem sporem

Nepřímý důkaz je úzce spjatý s důkazem sporem. Každý nepřímý důkaz lze převést na důkaz sporem. +more Dokazujeme-li totiž implikaci P \rightarrow T nepřímo, tj. dokazujeme-li \neg T \rightarrow \neg P, lze před celý důkaz tohoto tvrzení přidat větu „Předpokládejme pro spor, že platí P neplatí T. “ a po dokázání \neg P zakončit důkaz konstatováním „…, což je spor s předpokladem. “ Tím je nepřímý důkaz převeden na důkaz sporem.

Příklady

Nepřímý důkaz tvrzení „Pro každá dvě celá čísla \,a, \,b, pokud a\cdot b=0, pak \,a=0 nebo \,b=0“ lze provést následovně: * Nechť platí negace závěru, tj. \,a i \,b jsou nenulové. +more * Pak \,|a| i \,|b| jsou > 0. * Tedy |a\cdot b|=|a|\cdot|b|> 0. * A proto a\cdot b \neq 0.

Související články

Matematický důkaz * Přímý důkaz * Důkaz sporem * Důkaz matematickou indukcí * Nepřímý důkaz v kriminalistice a soudním dokazování

Kategorie:Druhy matematických důkazů