Cesko.wiki Nilradikál okruhu
Author
Albert FloresNilradikál je pojem z oboru komutativní algebry. Jedná se o ideál v komutativním okruhu složený ze všech nilpotentních prvků. Alternativně může být definován jako radikál nulového ideálu. Odtud plyne značení \sqrt{(0)}.
Vlastnosti
Nilradikál je ideálem, protože máme-li prvky a,x,y\in R takové, že x^n=0 a y^m=0, pak i (x+y)^{m+n-1}=0 a (ax)^n=0. * Nilradikál je roven průniku všech prvoideálů, což lze dokázat pomocí principu maximality. +more * Okruh je složený ze samých nilpotentních prvků a jednotek právě tehdy, když je faktorokruh podle nilradikálu komutativním tělesem.
Příklady
V okruhu modulární aritmetiky \mathbb{Z}/8\mathbb{Z} je nilradikál tvořen prvky {0,2,4,6}. * V okruhu \mathbb{Z}/36\mathbb{Z} jsou dva prvoideály, totiž hlavní ideály (2) a (3). +more Jejich průnikem je ideál (6)={0,6,12,18,24,30}, který je nilradikálem, ale není prvoideálem. * V okruhu mnohočlenů s proměnnými X_1,\dots,X_n nad okruhem R je nilradikál tvořen těmi mnohočleny, které mají všechny koeficienty nilpotentní.