Cesko.wiki Normální podgrupa
Author
Albert FloresNormální podgrupa je matematický koncept, který se vztahuje k grupám. Je to podgrupa grupy, která má zvláštní vlastnost – je invariantní vůči operaci grupy. To znamená, že když libovolný prvek původní grupy je v normální podgrupě, tak se tam nachází i jeho inverzní prvek. Existuje několik způsobů, jak definovat normální podgrupu. Jedním z nich je pomocí definice pomocí jádra homomorfismu grup. Normální podgrupa je jádrem nějakého homomorfismu z původní grupy na jinou grupu. Další způsob, jak charakterizovat normální podgrupu, je pomocí levých a pravých tříd ekvivalence. Normální podgrupa je taková podgrupa, že každá levá i pravá třída ekvivalence je také podgrupou původní grupy. Normální podgrupy se používají v různých oblastech matematiky, jako jsou grupové teorie, algebry, teorie čísel a další. Jsou důležitým nástrojem při zkoumání vlastností grup a jejich transformací. Tato stránka popisuje různé vlastnosti a charakteristiky normálních podgrup. Obsahuje také příklady a ilustrace, které pomáhají lépe pochopit tento matematický koncept.
Normální podgrupa (také invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa) \mathbb{P} grupy (\mathbb{G},\cdot) je taková její podgrupa, pro kterou navíc platí :\forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \equiv \{g \cdot p, p \in \mathbb{P} \} = \{p \cdot g, p \in \mathbb{P} \} \equiv \mathbb{P} \cdot g V abstraktní algebře je normální podgrupa podgrupou, která je invariantní vůči konjugaci s každým prvkem původní grupy. Jinými slovy, podgrupa H grupy G je v G normální jen potud, pokud gH=Hg pro všechna g v G.
První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois.
Jiné definice
Podmínku \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} = \mathbb{P} \cdot g lze přepsat do tvaru \forall g \in \mathbb{G} \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}. Z toho můžeme odvodit následující ekvivalentní definici normální podgrupy:
\mathbb{P} je normální podgrupa (\mathbb{G},\cdot), pokud je to její podgrupa a navíc platí :\forall g \in \mathbb{G}, p \in \mathbb{P} \quad g \cdot p \cdot g^{-1} \in \mathbb{P}.
Z tohoto vztahu plyne, že g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} \subseteq \mathbb{P}, a protože platí i pro g^{-1}: g^{-1} \cdot \mathbb{P} \cdot g \subseteq \mathbb{P} \Leftrightarrow \mathbb{P} \subseteq g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1}, je ekvivalentní \quad g \cdot \mathbb{P} \cdot g^{-1} = \mathbb{P}.
Proto se také někdy normální podgrupě říká invariantní vůči vnitřním automorfismům p \mapsto g \cdot p \cdot g^{-1}.
Podgrupa N grupy G se nazývá normální podgrupou, pokud je neměnná v konjugaci, tzn. : Pro každý prvek n v N a g v G, prvek gng−1 je stále součástí N. +more Zápis: N \triangleleft G\,\,\Leftrightarrow\,\forall\,n\in{N},\forall\,g\in{G},\, gng^{-1}\in{N}.
Jakákoliv podgrupa, která splňuje následující podmínky, je normální. Každá může tedy být brána jako definice: * Pro všechna g v G: gNg−1 ⊆ N * Pro všechna g v G: gNg−1 = N * Pravý a levý soubor třídy ekvivalentních prvků N v G se shodují. +more * Pro všechna g v G: gN = Ng * N je sjednocením konjugačních tříd v G. * Existuje jistý homomorfismus, jehož je N jádrem.
Poslední podmínka objasňuje důležitost normální podgrupy - ta je způsobem, jak vnitřně klasifikovat všechny homomorfismy definované uvnitř grupy. Např. +more neidentická konečná grupa je jednoduchá, pouze pokud je izomorfní vůči všem svým neidentickým homomorfním obrazům, konečná grupa je ideální pouze pokud nemá normální podgrupy primárního či prvočíselného exponentu, a grupa je neideální pouze pokud odvozená podgrupa není doplněna žádnou správnou normální podgrupou.
Příklady normálních podgrup
Jádro homomorfismu \varphi:\mathbb{G} \to \mathbb{H} je normální podgrupou, protože pokud p je prvkem jádra, tedy platí-li \varphi(p) = e_{\mathbb{H}}, pak i \varphi(g \cdot p \cdot g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(p) \varphi(g)^{-1} = \varphi(g) \varphi(g)^{-1} = e_{\mathbb{H}} a tedy i g \cdot p \cdot g^{-1} je prvkem jádra.
* Podgrupa {e} skládající se pouze z identické části G a G je vždy normální podgrupou G. Prvně jmenovaná se nazývá triviální podgrupa a jestliže je jen normální podgrupou, G se nazývá jednoduchá podgrupa.
* Středem grupy je normální podgrupa.
* Komutativní podgrupa je normální podgrupa.
* Obecně, jakákoliv typická podgrupa je normální, protože konjugace je vždy homomorfní.
* Všechny podgrupy N komutativní grupy G jsou normální, protože gN = Ng. Grupa, která není komutativní, ale pro niž je každá podgrupa normální se nazývá Hamiltonova grupa.
* Měnící se grupa v jakékoliv dimenzi je normální podgrupa Euklidovské grupy; např. ve 3D výsledkem rotace, změny a zpětné rotace je pouze změna (změna viděna v zrcadle se jeví jako změna se zrcadlově obráceným změnovým vektorem. +more) Změna o určitou vzdálenost jakýmkoliv směrem tvoří konjugační skupinu; změnová skupina je sjednocením skupin pro všechny vzdálenosti.
* V grupě Rubikovy kostky, podgrupa skládající se z operací, které ovlivňují pouze rohové kostky, je normální, protože žádná konjugační transformace nemůže způsobit, aby transformace ovlivnila okrajové kostky místo rohových. Naopak, podgrupa skládající se z otáčení horní plochy není normální, protože konjugační transformace může přesunout horní části na spodní plochu a tedy ne všechny konjugáty prvků této grupy jsou obsaženy v podgrupě.
Centrum grupy
Mějme grupu G. Její podmnožina Z(G) všech prvků s takových, že pro všechna g \in G platí s \cdot g = g \cdot s, se nazývá centrum grupy G. +more Centrum grupy G je normální podgrupou grupy G.
Vlastnosti
Normalita je udržována v surjektivním homomorfismu, a je také udržována tím, že nabývá inverzních obrazů. * Normální podgrupa normální podgrupy určité grupy nemusí být normální. +more Tedy, normalita není tranzitivní vztah. Avšak, charakteristická podgrupa normální podgrupy je normální. Rovněž, normální podgrupa ústředního činitele je normální, zejména normální podgrupa přímého činitele je normální. * Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecně, podgrupa H konečného exponentu n v G obsahuje podgrupu K normální v G a exponentem dělícím n. se nazývá normální jádro. Zejména je-li p nejmenší prvočíslo dělící třídu G, pak každá podgrupa exponentu p je normální.
Svaz normálních podgrup
Normální podgrupy grupy G tvoří mřížku podmnožiny zahrnující nejmenší prvek {e} a největší prvek G. Jsou dány dvě normální podgrupy N a M v G, průnik je definován jako N \wedge M := N \cap M a logický součet jako N \vee M := N M = \{nm \,|\, n \in N \text{, and } m \in M\}. +more Mřížka je kompletní a modulární.
Normální podgrupa a homomorfismus
Jestliže N je normální podgrupa, můžeme definovat násobky třídy ekvivalentních prvků jako
(a1N)(a2N) := (a1a2)N.
Toto mění soubor třídy ekvivalentních prvků na grupu nazývanou kvocientní grupa G/N. Existuje přirozený homomorfismus f: G → G/N daný f(a) = aN. +more Obraz f(N) se skládá pouze z identických prvků G/N, třídy ekvivalentních prvků eN = N.
Obecně, homomorfismus grupy f: G → H převádí podgrupu G na podgrupu H. Rovněž, předobraz jakékoliv podgrupy H je podgrupou G. +more Předobraz triviální podgrupy {e} v H nazýváme jádrem homomorfismu a označujeme ho ker(f). Ukazuje se, že jádro je vždy normální a obraz f(G) v G je vždy isomorfní vůči G/ker(f) (první isomorfní teorém). V podstatě je tento soulad rozdělením mezi skupinou všech kvocientních grup G/N v G a skupiny homomorfních obrazů v G. Můžeme také vidět, že jádro jako kvocientní mapy, f: G → G/N, je N, čímž jsme ukázali, že normální podgrupy jsou přesně jádry homomorfismu s doménou G.
Odkazy
Poznámky
Reference
Literatura
Související články
Externí odkazy
[url=https://web. archive. +moreorg/web/20041225000824/http://www. kolej. mff. cuni. cz/~lmotm275/skripta/mzahrad/node17. html]Skripta Pěstujeme lineární algebru[/url] * * [url=http://eom. springer. de/N/n067690. htm]Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics[/url] * [url=http://www. math. uiuc. edu/~r-ash/Algebra/Chapter1. pdf]Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year[/url] * [url=http://math. ucr. edu/home/baez/normal. html]John Baez, What's a Normal Subgroup. [/url].