Násobek

Technology

12 hours ago

Author

Násobek je v matematice hodnota čísla, kterou lze získat násobením příslušného základu přirozeným číslem.

Definice

Nechť čísla a,b \in N; číslo a je násobkem čísla b, jestliže existuje takové přirozené číslo k, že platí: a = b \cdot k. Neexistuje-li takové číslo k, pak číslo a není násobkem čísla b.

Definici lze použít i pro a, b \in Z, pak platí:

* číslo 0 je násobkem každého celého čísla, * je-li číslo a násobkem čísla b, je také násobkem čísla -b a také číslo -a je násobkem čísla čísla b.

Společný násobek

Nenulové přirozené číslo D se nazývá společným násobkem nenulových celých čísel a, b, když platí a\mid D \land b \mid D, tj. D je dělitelné oběma čísly. +more Nejmenší ze všech jejich společných násobků se nazývá nejmenší společný násobek.

Příklad: Jsou-li společní dělitele čísel a = 420, b = 36 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12. Čísla ve tvaru 1260 \cdot n, kde n \in N, jsou všechny společné násobky čísel a, b.

Obecné vyjádření společného násobku dvou přirozených čísel

Číslo D je libovolný společný násobek čísel a,b \in N. Použitím Eukleidova algoritmu lze zapsat D = a \cdot q, kde q \in N. +more Čísla a,b lze vyjádřit ve tvaru a = a_1 \cdot NSD (a,b); b = b_1 \cdot NSD(a,b); kde NSD (a_1,b_1) = 1, tedy čísla a_1, b_1jsou nesoudělná. Číslo \frac{D}{NSD(a,b)} = a_1 \cdot q přirozené a navíc q je dělitelné (beze zbytku) b_1. Pro n \in N lze napsat \frac{a_1q}{b_1} = a_1n a tedy a_1q = a_1b_1n. Provedením úprav lze získat vztah D = \frac{ab}{NSD(a,b)} \cdot n.

Společný násobek více čísel

Společným násobkem nenulových celých čísel a_1, . a_n, kde n \geq 2, je nenulové číslo D \in N, které je dělitelné každým z čísel a_1, . +more a_n, tj. \forall i \in \{1, . n\} a_i\mid D.

Příklady

Příklad1: Číslo 10 lze získat jako součin čísel: 2 \cdot 5 = 10

O číslech v této rovnosti platí: číslo 10 je násobek čísla 2, bylo získáno násobením čísla 2 a zároveň lze říci, že číslo 10 je násobek čísla 5, je výsledkem násobení čísla 5.

Příklad2: Které věty jsou pravdivé?

* Číslo 54 je násobek 8 - ne, věta není pravdivá, protože 54 : 8 = 6; (zbytek = 6) * Číslo 36 je násobek 12 - ano, pravdivé tvrzení, protože 36 je trojnásobek čísla 12

Příklad3: Určení násobku

* jedenáctinásobek čísla 6: 11 \cdot 6 = 66 * čtyřnásobek čísla z: 4 \cdot z = 4z